Что необходимо сделать, чтобы найти значения x, для которых f (x) = 0 на интервале [пи/2, 3пи/2], при условии

Чтобы найти значения \(x\), для которых \(f""(x) = 0\) на интервале \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), где \(f(x) = \sin^2 x\), мы должны сначала найти производную функции \(f(x)\), а затем взять вторую производную и приравнять ее к нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования функций \(f(x) = \sin^2 x\), которое гласит, что производная \((\sin^n x)" = n\sin^{n-1} x \cdot \cos x\).

Применяя данное правило к функции \(f(x) = \sin^2 x\), получаем:
\[f"(x) = 2\sin x \cdot \cos x\]

Шаг 2: Найдем вторую производную функции \(f(x)\).
Продифференцируем \(f"(x)\):
\[f""(x) = (2\sin x \cdot \cos x)" = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)\]

Шаг 3: Решим уравнение \(f""(x) = 0\).
Приравняем \(f""(x)\) к нулю и решим уравнение:
\[2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0\]

Раскроем скобки и упростим:
\[2\cos^2 x - 2\sin^2 x = 0\]
\[\cos^2 x - \sin^2 x = 0\]
\[(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0\]

Так как мы рассматриваем значения \(x\) на интервале \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), то \(\cos x\) и \(\sin x\) будут отрицательными на этом интервале. Поэтому уравнение \((\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0\) равносильно уравнению \(\cos x + \sin x = 0\).

Шаг 4: Решим уравнение \(\cos x + \sin x = 0\) на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\).
На данном интервале угол \(\frac{3\pi}{2}\) соответствует точке, где \(\cos x = 0\) и \(\sin x = -1\). Значит, решение уравнения \(\cos x + \sin x = 0\) на данном интервале будет x = \(\frac{3\pi}{2}\).

Итак, значения \(x\), для которых \(f""(x) = 0\) на интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\), при условии \(f(x) = \sin^2 x\), равны \(x = \frac{3\pi}{2}\).