Нужно найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений xy=8, y=8x^3 и y=27

Хорошо, давайте начнем с построения графиков данных уравнений, чтобы визуализировать фигуру.

Первое уравнение, \(xy = 8\), можно переписать в виде \(y = \frac{8}{x}\). Построим его график:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 8 \\
2 & 4 \\
4 & 2 \\
8 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

На графике видно, что это одна ветвь параболы, которая проходит через точки (1, 8), (2, 4), (4, 2) и (8, 1).

Второе уравнение, \(y = 8x^3\), также представляет собой параболу, но отличается формой от предыдущей:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -64 \\
-1 & -8 \\
0 & 0 \\
1 & 8 \\
2 & 64 \\
\hline
\end{array}
\]

Эта парабола проходит через точки (-2, -64), (-1, -8), (0, 0), (1, 8) и (2, 64).

Третье уравнение, \(y = 27\), представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точку (0, 27).

Теперь давайте посмотрим на графики этих уравнений:

\[
\begin{array}{ccc}
\text{График уравнения} & \text{График уравнения} & \text{График уравнения} \\
\text{xy = 8} & y = 8x^3 & y = 27 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=0, xmax=10,
ymin=0, ymax=10,
xtick={1, 2, 4, 8},
ytick={1, 2, 4, 8},
]
\addplot[color=blue,thick,domain=0.125:8] {8/x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-70, ymax=70,
xtick={-2, -1, 0, 1, 2},
ytick={-64, -8, 8, 64},
]
\addplot[color=red,thick,domain=-2.5:2.5] {8*x^3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
&
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-2, xmax=2,
ymin=-5, ymax=30,
xtick={-1, 0, 1},
ytick={27},
y axis line style={->},
axis lines=center,
axis line style={->},
]
\addplot[color=green,thick,domain=-2:2] {27};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими графиками, нам нужно определить точки пересечения этих графиков.

Для наших графиков уравнений \(xy = 8\) и \(y = 8x^3\) точки пересечения можно найти, приравняв уравнения:

\[
\frac{8}{x} = 8x^3
\]

Решим это уравнение:

\[
8 = 8x^4 \implies x^4 = 1 \implies x = \pm1
\]

Таким образом, точки пересечения наших первых двух графиков - это (-1, -8) и (1, 8).

Теперь рассмотрим пересечение графика уравнения \(y = 8x^3\) и горизонтальной прямой \(y = 27\):

\[
8x^3 = 27 \implies x^3 = \frac{27}{8} \implies x = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}
\]

Так как значение корня третьей степени равно \(3/2 = 1.5\), пересечение происходит около \(x \approx 1.5\).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между графиками, нужно найти площади трех областей и сложить их.

Первая область - это треугольник, ограниченный осью абсцисс и графиком \(y=8x^3\) для \(x \in [-1, 1]\):

Площадь этого треугольника равна:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8 = 4
\]

Вторая область - это область, ограниченная графиком \(y = 27\), осью абсцисс и отрезком \(x \in [1, \sqrt[3]{\frac{27}{8}}]\):

Для определения площади этой области, давайте сначала найдем точку пересечения графиков \(y = 27\) и \(y = 8x^3\):

\[
27 = 8x^3 \implies x^3 = \frac{27}{8} \implies x = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}
\]

Таким образом, точка пересечения находится при \(x = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}\).

Площадь этой области равна:

\[
S_2 = \int_{1}^{\sqrt[3]{\frac{27}{8}}} (27 - 8x^3)dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
S_2 = \left[27x - 2x^4\right]_{1}^{\sqrt[3]{\frac{27}{8}}} = 27\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 2\left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^4 - (27 - 2) = 27\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 2\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 25
\]

Третья область - это треугольник, ограниченный осью абсцисс и графиками \(y = 27\) и \(xy = 8\) для \(x \in [\sqrt[3]{\frac{27}{8}}, \infty]\):

Площадь этого треугольника равна:

\[
S_3 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{27}{\sqrt[3]{\frac{27}{8}}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right) = \frac{27}{2}
\]

Теперь сложим все площади:

\[
S = S_1 + S_2 + S_3 = 4 + \left(27\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 2\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 25\right) + \frac{27}{2}
\]

Очистим дроби:

\[
S = 4 + 27\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 2\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 25 + \frac{27}{2} = 6 + 25\sqrt[3]{\frac{27}{8}} - 23 = 17 + 25\sqrt[3]{\frac{27}{8}}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений \(xy = 8\), \(y = 8x^3\) и \(y = 27\), равна \(17 + 25\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\).