Чи можна підтвердити, що чотирикутник abcd з координатами вершин a(3; -1) b(2; 3) c(-2; 2) d(-1; -2) є прямокутником?

Да, мы можем подтвердить, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником. Для этого мы проверим, выполняется ли условие о прямых углах для всех его углов.

Для начала, мы вычислим длины сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} \\
BC &= \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2} \\
CD &= \sqrt{(x_d - x_c)^2 + (y_d - y_c)^2} \\
DA &= \sqrt{(x_a - x_d)^2 + (y_a - y_d)^2}
\end{align*}
\]

Подставив значения координат вершин четырехугольника, получаем:

\[
\begin{align*}
AB &= \sqrt{(2 - 3)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \\
BC &= \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \\
CD &= \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \\
DA &= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
\end{align*}
\]

Мы видим, что все стороны четырехугольника \(ABCD\) имеют одинаковую длину и равны \(\sqrt{17}\). Теперь мы проверим, являются ли противоположные стороны параллельными.

Для этого проверим, равны ли углы между векторами, образованными сторонами, противоположными друг другу. Если углы равны, это будет означать, что противоположные стороны параллельны.

Вычислим углы между сторонами \(AB\) и \(CD\), а также между сторонами \(BC\) и \(DA\).

Для угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

\[
\theta_1 = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\right)
\]

Для угла между векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\):

\[
\theta_2 = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{DA}|}\right)
\]

Где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, а \(|\cdot|\) обозначает модуль вектора.

Вычислим значения углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\):

\[
\begin{align*}
\theta_1 &= \arccos\left(\frac{(2 - 3)(-1 - (-2)) + (3 - (-1))(1 - (-2))}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}}\right) \\
&= \arccos\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{17}} + \frac{12}{\sqrt{17}}}{17}\right) \\
&= \arccos\left(\frac{13}{17}\right) \\
&\approx 0.69 \text{ радиан} \approx 39.8^\circ
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
\theta_2 &= \arccos\left(\frac{(-2 - 3)(2 - (-1)) + (2 - 3)(-1 - (-1))}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}}\right) \\
&= \arccos\left(\frac{-5 - 2}{17}\right) \\
&= \arccos\left(\frac{-7}{17}\right) \\
&\approx 2.39 \text{ радиан} \approx 137.4^\circ
\end{align*}
\]

Значения углов \(\theta_1\) и \(\theta_2\) не равны 90 градусам, значит, четырехугольник \(ABCD\) не является прямоугольником.

Таким образом, мы можем подтвердить, что четырехугольник \(ABCD\) не является прямоугольником.