Какое максимальное количество прямых можно провести на плоскости так, чтобы среди любых 14 из них существовали

Для решения данной задачи, давайте вначале выясним общее количество прямых, которые можно провести на плоскости.

Количество прямых, которые можно провести, зависит от их положения и угла между ними. Рассмотрим различные категории прямых и посмотрим, сколько прямых в каждой категории можно провести.

1. Вертикальные прямые: Каждая вертикальная прямая может пересекать все остальные горизонтальные прямые. Таким образом, мы можем провести \(n\) вертикальных прямых.

2. Горизонтальные прямые: Подобно вертикальным прямым, каждая горизонтальная прямая может пересекать все остальные вертикальные прямые. Мы также можем провести \(n\) горизонтальных прямых.

3. Наклонные прямые: Здесь вариантов уже больше. Предположим, что угол между наклонными прямыми составляет \(x\) градусов. Если мы хотим, чтобы две прямые образовывали прямой угол, то угол между ними должен быть 90 градусов. То есть, для получения прямого угла, градусная мера двух прямых, образующих его, должна суммироваться в 90 градусов.

Теперь возникает вопрос, сможем ли мы провести \(x\) градусных прямых так, чтобы при выборе любых 14 прямых среди них всегда можно было найти две, образующие прямой угол.

Для этого нам понадобится математическое рассуждение, известное как "теорема Рамсея". Она утверждает, что для данного числа \(n\) и \(r\) (в данном случае \(n = 14\) и \(r = 2\)) всегда найдется минимальное число \(R(n)\), такое что при \(R(n)\) прямых выборе из них всегда можно будет найти \(r\) прямых, образующих прямой угол.

Значение \(R(n)\) найти достаточно сложно, однако существуют оценки для этой величины. В данном случае \(R(14,2) = 36\).

Таким образом, мы можем провести не более 36 прямых так, чтобы среди любых 14 прямых всегда можно было найти две, образующие прямой угол.