Четыре точки P, Q, R и S образуют прямоугольник PQRS. Рассчитайте площадь круга, который описан вокруг данного

Давайте решим данную задачу поэтапно.

1. Найдем длину стороны PQ. Дано, что длина стороны PQ равна числу \(a\). Запишем это:

\[PQ = a\]

2. Так как прямоугольник PQRS — прямоугольник, то стороны PQ и RS параллельны и имеют одинаковую длину. Следовательно, сторона RS также равна \(a\).

\[RS = a\]

3. Круг, описанный вокруг прямоугольника PQRS, будет проходить через точки P, Q, R и S. Расстояние от центра круга до каждой из этих точек будет равно радиусу описанного круга. Обозначим радиус как \(R\).

4. Рассмотрим треугольник PQO, где O - центр описанного круга. Треугольник PQO — прямоугольный, с гипотенузой PQ и катетами \(R\) и \(a/2\). С помощью теоремы Пифагора найдем радиус \(R\):

\((a/2)^2 + R^2 = PQ^2\)

\((a/2)^2 + R^2 = a^2\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{a^2}}{4} + R^2 = a^2\)

Перенесем \(\frac{{a^2}}{4}\) на другую сторону:

\(R^2 = a^2 - \frac{{a^2}}{4}\)

Вынесем общий множитель:

\(R^2 = \frac{{4a^2}}{4} - \frac{{a^2}}{4}\)

Сменим числа на общие дроби:

\(R^2 = \frac{{4a^2 - a^2}}{4}\)

Упростим выражение:

\(R^2 = \frac{{3a^2}}{4}\)

5. Теперь, когда мы нашли квадрат радиуса R, найдем сам радиус. Возьмем квадратный корень из \(R^2\):

\(R = \sqrt{\frac{{3a^2}}{4}}\)

6. Итак, мы нашли радиус описанного круга. Для нахождения площади круга воспользуемся формулой площади окружности: \(S = \pi R^2\), где \(S\) — площадь, а \(\pi\) — математическая константа, примерно равная 3.14159.

Подставим значения радиуса:

\(S = \pi \left(\sqrt{\frac{{3a^2}}{4}}\right)^2\)

Упрастим выражение:

\(S = \pi \frac{{3a^2}}{4}\)

Ответом на задачу будет формула для площади описанного круга:

\[S = \pi \frac{{3a^2}}{4}\]