1) Найти расстояние от конца перпендикуляра, проведенного из центра вписанной окружности треугольника до его сторон

Задача 1:

Дано: Длины сторон треугольника - 13, 14 и 15.

Решение:

Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника \(p\). Полупериметр вычисляется по формуле \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, \(a = 13\), \(b = 14\) и \(c = 15\). Подставим значения в формулу:

\[p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = \frac{{42}}{2} = 21\]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника \(S\). Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

Подставим значения в формулу:

\[S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}\]

Раскроем скобки:

\[S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{2112}\]

Вычислим значение:

\[S \approx 45.972\]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности \(r\) можно найти по формуле \(r = \frac{S}{p}\).

Подставим значения в формулу:

\[r = \frac{45.972}{21}\]

Расчитаем значение:

\[r \approx 2.189\]

Шаг 4: Найдем высоту треугольника, опущенную из вершины на основание, на которое проведен перпендикуляр из центра вписанной окружности. Высота треугольника \(h\) вычисляется по формуле \(h = \frac{2S}{a}\), где \(a\) - длина основания треугольника.

Подставим значения в формулу:

\[h = \frac{2 \cdot 45.972}{13}\]

Расчитаем значение:

\[h \approx 7.068\]

Ответ: Расстояние от конца перпендикуляра, проведенного из центра вписанной окружности треугольника до его сторон, составляет около 7.068 единиц.

Задача 2:

Дано: Сторона ромба - 12, острый угол - 30 градусов.

Решение:

Шаг 1: Нарисуем ромб ABCD с заданными стороной и углом.

(Рисунок ромба ABCD)

Шаг 2: Пусть точка М находится вне плоскости ромба на равном расстоянии от его сторон.

(Рисунок ромба ABCD с точкой М)

Шаг 3: Проведем перпендикуляр из точки М на основания ромба. Обозначим эту точку как N.

(Рисунок ромба ABCD с точкой М и точкой N)

Шаг 4: Найдем высоту ромба \(h\) по формуле \(h = \frac{a}{2}\), где \(a\) - длина основания ромба.

В нашем случае, \(a = 12\). Подставим значение в формулу:

\[h = \frac{12}{2} = 6\]

Шаг 5: Найдем длину отрезка MN. Так как точка М находится на равном расстоянии от сторон ромба, то отрезок МN будет равен высоте ромба:

\[MN = h = 6\]

Ответ: Расстояние от проекции точки М до сторон ромба составляет 6 единиц.