Определите длину стороны ВС треугольника АВС, если: 1) сторона АВ равна 4√3 см, сторона АС равна 2 см и угол A равен

Конечно! Давайте разберемся с этими задачами.

1) Для начала построим треугольник АВС, чтобы было проще обозначить стороны. Сторона АВ равна 4√3 см, сторона АС равна 2 см, а угол A равен 30 градусов.

\[
\begin{array}{ccccc}
& & & C & \\
& & & | & \\
& & & | & \\
& & & | & \\
& A & ———— & B & \\
\end{array}
\]

Итак, нам нужно найти длину стороны ВС треугольника АВС. Поскольку у нас есть информация о стороне АВ и угле А, мы можем воспользоваться законом синусов, чтобы найти длину стороны ВС.

Закон синусов гласит: \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\), где a, b и c — это длины сторон треугольника, а A, B и C — соответствующие им углы.

Мы знаем, что сторона АВ равна 4√3, угол A равен 30 градусов, а сторона АС равна 2. Найдем угол B, используя факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Угол C равен 180 - угол A - угол B.

30° + B + C = 180°
B + C = 150°

Таким образом, угол B равен 150 - угол C.

Теперь мы можем применить закон синусов. Для этого нужно знать две длины сторон и синус противолежащего угла. Мы знаем длины сторон АВ и АС, поэтому нам нужно найти синус угла B.

Угол B — внутренний угол треугольника, а сторона ВС — противолежащая этому углу сторона. Мы можем использовать формулу синусов для нахождения синуса угла B.

\(\sin(B) = \frac{c}{a} \cdot \sin(A)\)

Теперь подставим известные значения в формулу:

\(\sin(B) = \frac{2}{4\sqrt{3}} \cdot \sin(30°)\)

Найдем значение синуса 30 градусов.
\(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) (это хорошо известное значение).

Сократим выражение:
\(\sin(B) = \frac{2}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4\sqrt{3}}\)

Теперь найдем угол B:
\(B = \arcsin\left(\frac{1}{4\sqrt{3}}\right)\)

Подставляя это значение, найдем угол C:
\(C = 150° - B\)

Теперь у нас есть все данные для применения закона синусов, чтобы найти длину стороны ВС. Мы знаем, что сторона АВ равна 4√3 см, поэтому a = 4√3.

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{4\sqrt{3}}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Заменяем синусы на значения:

\(\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Упрощаем:

\(8\sqrt{3} = 2c \cdot \sin(C)\)

Делим обе части на 2:

\(4\sqrt{3} = c \cdot \sin(C)\)

Извлекаем значение синуса угла C:

\(\sin(C) = \frac{4\sqrt{3}}{c}\)

Теперь можем найти длину стороны ВС. Мы знаем, что сторона АС равна 2 см, поэтому c = 2.

\(\sin(C) = \frac{4\sqrt{3}}{2}\)

Упрощаем:

\(\sin(C) = 2\sqrt{3}\)

Используя свойство синуса, чтобы найти значение угла C, мы получим:

\(C = \arcsin(2\sqrt{3})\)

Таким образом, мы нашли значения углов B и C, и теперь можем найти длину стороны ВС, используя закон синусов:

\(\frac{4\sqrt{3}}{\sin(30°)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Подставим значения:

\(\frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Упрощаем:

\(8\sqrt{3} = 2c \cdot \sin(C)\)

Делим обе части на 2:

\(4\sqrt{3} = c \cdot \sin(C)\)

Подставляем значение синуса угла C:

\(4\sqrt{3} = c \cdot 2\sqrt{3}\)

Упрощаем:

\(4 = c\)

Таким образом, длина стороны ВС равна 4 см.

2) Теперь перейдем ко второй задаче. Опять начнем с построения треугольника АВС, где сторона АВ равна 4 см, сторона АС равна 8 см, а угол A равен 120 градусов.

\[
\begin{array}{ccccc}
& & & C & \\
& & & | & \\
& & & | & \\
& & & | & \\
& A & ———— & B & \\
\end{array}
\]

Мы хотим найти длину стороны ВС. Опять же, воспользуемся законом синусов для решения этой задачи.

Согласно закону синусов:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Мы знаем, что сторона АВ равна 4 см и угол A равен 120 градусов. Наша задача — найти угол C, чтобы использовать закон синусов и найти сторону ВС.

Для этого найдем угол B, используя факт о сумме углов треугольника:

120° + B + C = 180°
B + C = 60°

Таким образом, угол B равен 60 - угол C. Обратите внимание, что угол C — внутренний угол треугольника, а сторона ВС — противолежащая этому углу сторона. Мы можем использовать формулу синусов для нахождения синуса угла C:

\(\sin(C) = \frac{c}{a} \cdot \sin(A)\)

Подставим известные значения:

\(\sin(C) = \frac{8}{4} \cdot \sin(120°)\)

Найдем значение синуса 120 градусов.
\(\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (это хорошо известное значение).

Сократим выражение:
\(\sin(C) = \frac{8}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

Теперь найдем угол C:
\(C = \arcsin(\sqrt{3})\)

Подставляя это значение, найдем угол B:
\(B = 60° - C\)

Итак, мы нашли значения углов B и C, и теперь можем использовать закон синусов для нахождения длины стороны ВС. Поскольку сторона АВ равна 4 см, поэтому a = 4.

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{4}{\sin(120°)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Заменяем синусы на значения:

\(\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Упрощаем:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Используя свойство синуса, чтобы найти значение синуса угла C, получим:

\(\sin(C) = \frac{c}{\frac{8}{\sqrt{3}}}\)

Теперь можем найти длину стороны ВС. Мы знаем, что сторона АС равна 8 см, поэтому c = 8.

\(\sin(C) = \frac{8}{\frac{8}{\sqrt{3}}}\)

Упрощаем:

\(\sin(C) = \sqrt{3}\)

Используя это значение синуса, чтобы найти угол C, получим:

\(C = \arcsin(\sqrt{3})\)

Теперь, подставив значения углов B и C в закон синусов, найдем длину стороны ВС:

\(\frac{4}{\sin(120°)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Подставим значения:

\(\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Упрощаем:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Теперь, используя значение синуса угла C, получим:

\(\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}\)

Упростим:

\(8 = c\)

Таким образом, длина стороны ВС равна 8 см.

Я надеюсь, что это решение помогло вам понять, как найти длину стороны ВС в обоих случаях.