Через сколько времени t после неупругого столкновения брусок вернется в точку столкновения? Вначале он скользит

Для решения этой задачи, нам необходимо применить законы сохранения импульса и энергии.

Пусть масса бруска будет обозначена как \(m_1\), а масса неподвижного тела - \(m_2\). Согласно условию задачи, масса неподвижного тела в два раза больше массы бруска, то есть \(m_2 = 2m_1\).

По закону сохранения импульса, можно записать:
\[m_1v_1 + m_2v_{2i} = (m_1 + m_2)v_{1f}\]
где \(v_1\) - начальная скорость бруска, \(v_{2i}\) - начальная скорость неподвижного тела, \(v_{1f}\) - скорость бруска после столкновения.

Из условия задачи, \(v_1 = 1\,м/с\), а неподвижное тело, как следует из условия, находится в покое \(v_{2i} = 0\).

Подставляем известные значения в уравнение:
\[m_1 \cdot 1 + m_2 \cdot 0 = (m_1 + m_2) \cdot v_{1f}\]
\[m_1 = (m_1 + m_2) \cdot v_{1f}\]
\[v_{1f} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\]

Теперь, неупругое столкновение бруска с пружиной. Так как система необратима, энергия будет потеряна частично.

Используя закон сохранения энергии, можно записать:
\[\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 = \frac{1}{2}kx^2\]
где \(k\) - жесткость пружины, \(x\) - сжатие пружины.

Подставим значение жесткости пружины (\(k = 40\,Н/м\)) и найдем сжатие пружины \(x\):
\[\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot x^2\]
\[m_1v_{1f}^2 = 40x^2\]

Заменим \(v_{1f}\) на значение, которое мы уже рассчитали:
\[m_1 \cdot \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right)^2 = 40x^2\]
\[m_1^3 = 40x^2 \cdot (m_1 + m_2)^2\]
\[m_1^3 = 40x^2 \cdot (m_1^2 + 2m_1m_2 + m_2^2)\]
\[m_1^3 = 40x^2m_1^2 + 80x^2m_1m_2 + 40x^2m_2^2\]
\[m_1^3 - 40x^2m_1^2 - 80x^2m_1m_2 - 40x^2m_2^2 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение третьей степени. Решим его численно методом подстановки или приближенно, или воспользуемся графическими методами.

Как только мы найдем значения \(m_1\) и \(x\), мы сможем найти время \(t\) с помощью уравнения движения пружины:
\[x = \frac{m_1v_{1f}}{k} \cdot (1 - e^{-\frac{kt}{m_1}})\]

Таким образом, чтобы найти время \(t\) после неупругого столкновения бруска с пружиной, мы сначала должны решить уравнение третьей степени для \(m_1\) и \(x\), а затем использовать это значение в уравнении движения пружины, чтобы найти \(t\). Но в силу сложности этого уравнения третьей степени, я предлагаю воспользоваться численными методами для его решения.