Какое отношение модулей скоростей у искусственных спутников Земли массой 200 кг и 800 кг, которые движутся по круговым

Чтобы найти отношение модулей скоростей искусственных спутников Земли, движущихся по круговым орбитам с одинаковыми радиусами, мы можем использовать законы сохранения энергии и законы движения по окружности.

Сначала рассмотрим закон сохранения механической энергии. Вращающийся спутник имеет кинетическую энергию движения и потенциальную энергию гравитационного взаимодействия с Землей. По закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий спутника остается постоянной.

Математически это выглядит следующим образом:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{G M m_1}{r} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{G M m_2}{r}\),

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы спутников, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости, \(r\) - радиус орбиты спутников, \(G\) - гравитационная постоянная, а \(M\) - масса Земли.

Так как радиус орбиты одинаковый для обоих спутников, можно упростить уравнение:

\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{G M m_1}{r} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{G M m_2}{r}\).

Мы также знаем, что \(m_1 = 200 \, \text{кг}\) и \(m_2 = 800 \, \text{кг}\). Подставив эти значения в уравнение, получим:

\(\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot v_1^2 - \frac{G M \cdot 200}{r} = \frac{1}{2} \cdot 800 \cdot v_2^2 - \frac{G M \cdot 800}{r}\).

Теперь у нас есть всего одна неизвестная - отношение модулей скоростей \(v_1\) и \(v_2\). Решим уравнение относительно \(v_1\) и \(v_2\).

Домножим оба выражения уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(200 \cdot v_1^2 - 2 \cdot G \cdot M \cdot 200 = 800 \cdot v_2^2 - 2 \cdot G \cdot M \cdot 800\).

Теперь сгруппируем и переставим слагаемые:

\(200 \cdot v_1^2 - 800 \cdot v_2^2 = 2 \cdot G \cdot M \cdot (800 - 200)\).

Вынесем общий множитель за скобки:

\(200 \cdot (v_1^2 - 4 \cdot v_2^2) = 2 \cdot G \cdot M \cdot 600\).

Делаем замену \(v_2^2 = \frac{v_1^2}{4}\):

\(200 \cdot (v_1^2 - 4 \cdot (\frac{v_1^2}{4})) = 2 \cdot G \cdot M \cdot 600\).

Выполняем простые вычисления:

\(200 \cdot 3 \cdot v_1^2 = 2 \cdot G \cdot M \cdot 600\).

Делим обе части уравнения на 600:

\(3 \cdot v_1^2 = \frac{2 \cdot G \cdot M \cdot 600}{200}\).

Упрощаем выражение:

\(3 \cdot v_1^2 = 2 \cdot G \cdot M\).

Теперь можно найти значение \(v_1\). Для этого нужно избавиться от коэффициента перед \(v_1^2\):

\(v_1^2 = \frac{2 \cdot G \cdot M}{3}\).

Применяем квадратный корень к обеим частям уравнения:

\(v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{3}}\).

Теперь, чтобы найти отношение модулей скоростей, можно подставить данное \(v_1\) и \(v_2 = \frac{v_1}{2}\) в уравнение:

\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{3}}}{\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{3}}}{2}}\).

Выполняем простые вычисления:

\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1} = 2\).

Таким образом, отношение модулей скоростей искусственных спутников Земли массой 200 кг и 800 кг, движущихся по круговым орбитам с одинаковыми радиусами, равно 2.