Через сколько лет насыщения возрастет население города не менее чем на 1/50 от настоящего числа жителей?

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для экспоненциального роста населения:

\[N = N_0 \cdot (1 + r)^t\]

Где:
- N - будущее количество населения
- N_0 - начальное количество населения
- r - годовая процентная ставка роста (в десятичном виде)
- t - количество лет

В нашем случае, мы хотим найти количество лет (t), через которые население города вырастет не менее чем на 1/50 от настоящего числа жителей.

Пусть X будет текущее количество жителей города. Тогда наше будущее количество населения составит:

\[N = X + \frac{1}{50}X = \frac{51}{50}X\]

Заменяем N в формуле экспоненциального роста и решаем уравнение относительно t:

\[\frac{51}{50}X = X \cdot (1 + r)^t\]

Далее, делим обе части уравнения на X:

\[\frac{51}{50} = (1 + r)^t\]

Чтобы найти t, возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\log(1 + r)^t = \log\left(\frac{51}{50}\right)\]

Чтобы упростить решение, обратим внимание, что \(\log(1 + r)^t = t \log(1 + r)\). Поэтому уравнение принимает следующий вид:

\[t \log(1 + r) = \log\left(\frac{51}{50}\right)\]

Теперь, остается только найти t, разделив обе части уравнения на \(\log(1 + r)\):

\[t = \frac{\log\left(\frac{51}{50}\right)}{\log(1 + r)}\]

В данном случае, чтобы рассчитать количество лет, необходимо знать годовую процентную ставку роста (r), которая не указана в задаче. Если мы предположим, что r равен, например, 2%, мы можем подставить это значение в формулу выше и рассчитать количество лет для насыщения. Применяя это значение к формуле, получим:

\[t = \frac{\log\left(\frac{51}{50}\right)}{\log(1 + 0.02)}\]

Теперь, подсчитаем значение выражения в числах:

\[t \approx \frac{0.0198}{0.6931} \approx 0.0286\]

Таким образом, при предположении, что годовая процентная ставка роста составляет 2%, население города насытится примерно через 0.0286 лет или около 10.44 дней.

Однако, учтите, что конкретное значение результата может отличаться в зависимости от фактической процентной ставки роста (r).