Чему равны: 1) радиус вписанной в многоугольник окружности; 2) количество сторон многоугольника, если радиус

Спасибо за вопрос! Давайте ответим на ваши вопросы по порядку:

1) Радиус вписанной в многоугольник окружности можно найти, используя формулу:
\[ r = \frac{s}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]
где \( r \) - радиус окружности, \( s \) - длина стороны многоугольника, \( n \) - количество сторон многоугольника.

2) Чтобы найти количество сторон многоугольника, нужно использовать формулу:
\[ n = \frac{2\pi}{\arcsin\left(\frac{s}{2r}\right)} \]
где \( n \) - количество сторон многоугольника, \( s \) - длина стороны многоугольника, \( r \) - радиус окружности.

Теперь давайте применим эти формулы к вашей задаче.
У нас есть радиус окружности, описанной около многоугольника, равный 4 см, а также известно, что длина стороны многоугольника составляет \( s \) (не указано значение в вашем вопросе).

1) Для того чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно знать значение длины стороны многоугольника. Предположим, что длина стороны многоугольника составляет \( s = 6 \) см.
Подставим это значение в формулу:
\[ r = \frac{s}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]
\[ r = \frac{6}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Используя значение \( r = 4 \) см, мы можем решить уравнение:
\[ 4 = \frac{6}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

При условии, что длина стороны многоугольника составляет 6 см, радиус вписанной окружности будет равен 4 см, если \(\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{6}{8}\). Мы можем найти значение этого угла из таблицы тангенсов, используя приближенные значения, и затем рассчитать количетсво сторон многоугольника.

2) Также, зная значение радиуса окружности \( r = 4 \) см, а длину стороны многоугольника, мы можем использовать формулу:
\[ n = \frac{2\pi}{\arcsin\left(\frac{s}{2r}\right)} \]

Подставляем значения:
\[ n = \frac{2\pi}{\arcsin\left(\frac{6}{2 \cdot 4}\right)} \]

Вычисляем значение в дуговых радианах:
\[ n = \frac{2\pi}{\arcsin\left(\frac{6}{8}\right)} \]

Мы можем найти значение этого выражения, используя арксинус произведения 6/8, и получить количество сторон многоугольника.

Обратите внимание, что результаты будут различаться в зависимости от значения \( s \), длины стороны многоугольника. Если вы предоставите это значение, я смогу привести точный ответ.