Чему равна сумма всех натуральных чисел, которые являются кратными 11, и находятся в интервале от 101 до 999?

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти сумму всех натуральных чисел, которые являются кратными 11 и находятся в интервале от 101 до 999.

Сначала определим количество чисел, удовлетворяющих условию. Для этого найдем минимальное и максимальное число в данном интервале, которые являются кратными 11.

Минимальное число, кратное 11 и находящееся в интервале от 101 до 999, можно найти, разделив 101 на 11 (минимальное целое число, которое при делении на 11 дает нам натуральное число). Получаем, что минимальное число равно \(\left\lceil\frac{101}{11}\right\rceil = 9\) (округление вверх до ближайшего целого числа).

Максимальное число, кратное 11 и находящееся в интервале от 101 до 999, можно найти, разделив 999 на 11. Получаем, что максимальное число равно \(\left\lfloor\frac{999}{11}\right\rfloor = 90\) (округление вниз до ближайшего целого числа).

Теперь мы знаем, что в данном интервале находится 82 числа (90-9+1=82), которые являются кратными 11.

Чтобы найти сумму всех этих чисел, мы можем просто сложить их. Но есть более быстрый способ найти эту сумму, используя формулу для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
где S - сумма, n - количество чисел в прогрессии, \(a_1\) - первое число в прогрессии, \(a_n\) - последнее число в прогрессии.

В нашем случае:
n = 82,
\(a_1\) = 11,
\(a_n\) = 11 + (82-1) * 11 = 11 + 81 * 11 = 11 + 891 = 902.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[S = \frac{82}{2}(11 + 902) = 41 \times 913 = 37433.\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, которые являются кратными 11 и находятся в интервале от 101 до 999, равна 37433.