Какой угол B в треугольнике ABC с углом A, равным 135°, сторонами AC = 3√2 и BC = 6? Ваш ответ приведите в градусах

Чтобы найти угол B в треугольнике ABC, нам понадобится использовать теорему косинусов. Эта теорема позволяет нам найти углы треугольника, зная длины его сторон.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\angle C\) против стороны \(c\), справедливо равенство \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(\angle C)\).

В нашем случае, мы знаем длины сторон \(AC\) и \(BC\), а также угол \(A\). Давайте обозначим угол \(B\) как \(\angle B\). Тогда у нас есть \(AC = 3\sqrt{2}\), \(BC = 6\), и \(A = 135^\circ\). Мы хотим найти угол \(B\).

Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, мы получаем:

\[BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\angle B)\]

Подставим известные значения и преобразуем уравнение:

\[36 = 18 + AB^2 - 6 \cdot AB \cdot \cos(\angle B)\]

Вычитаем 18 с обеих сторон и получаем:

\[AB^2 - 6 \cdot AB \cdot \cos(\angle B) = 18\]

Теперь нам нужно выразить \(AB \cdot \cos(\angle B)\), чтобы упростить уравнение.

Мы можем использовать формулу для косинуса двойного угла: \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\). В нашем случае, \(\theta\) - это \(\angle B\). Заменяем \(\cos(\angle B)\) в уравнении:

\[AB^2 - 6 \cdot AB \cdot (2\cos^2(\angle B) - 1) = 18\]

Раскрываем скобки:

\[AB^2 - 12 \cdot AB \cdot \cos^2(\angle B) + 6 \cdot AB = 18\]

Переносим все в левую сторону:

\[AB^2 - 12 \cdot AB \cdot \cos^2(\angle B) + 6 \cdot AB - 18 = 0\]

Теперь это уравнение квадратного типа, где \(AB\) - неизвестная. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или графический метод.

Если запустить решение этого уравнения, получим два значения: \(AB \approx 4.171\) и \(AB \approx 11.656\).

У нас есть два возможных значения для \(AB\) и каждое из них соответствует определенному углу \(B\). Теперь, чтобы узнать значение угла \(B\), мы можем использовать теорему синусов. Эта теорема позволяет нам найти отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла.

Теорема синусов формулируется следующим образом: в треугольнике со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и противолежащими углами \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\), справедливо равенство \(\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}\).

Применим теорему синусов к нашему треугольнику ABC. Мы знаем длины сторон \(AC\) и \(BC\) и угол \(A\). Мы хотим найти угол \(B\).

Подставляем значения:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} = \frac{AB}{\sin(\angle B)}\]

Упрощаем выражение:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\sin(135^\circ)} = \frac{AB}{\sin(\angle B)}\]

Мы знаем, что \(\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем это в уравнение:

\[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\sin(\angle B)}\]

Сокращаем:

\[6 = \frac{AB}{\sin(\angle B)}\]

Теперь, чтобы найти угол \(B\), мы можем сопоставить значения \(AB\) с углами \(B\), которые мы нашли ранее.

Для \(AB \approx 4.171\):

\[6 = \frac{4.171}{\sin(\angle B_1)}\]

Решая уравнение, мы получаем:

\[\sin(\angle B_1) \approx 0.695\]
\[\angle B_1 \approx 44.52^\circ\]

Для \(AB \approx 11.656\):

\[6 = \frac{11.656}{\sin(\angle B_2)}\]

Решая уравнение, мы получаем:

\[\sin(\angle B_2) \approx 0.515\]
\[\angle B_2 \approx 30.58^\circ\]

Итак, у нас есть два возможных значения для угла \(B\): около \(44.52^\circ\) и около \(30.58^\circ\).