Чему равна длина хорды при угле ∡ABC, равном 30°, и радиусе окружности, равном

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства треугольника, образованного хордой, радиусом и диаметром окружности.

Давайте разберемся подробнее.

У нас есть окружность с радиусом \( R \), и хорда \( AB \) образует угол \( \angle ABC \), который равен 30°.

Зная свойства треугольника, мы можем установить следующие соотношения:

1. Хорда \( AB \) является основанием равнобедренного треугольника \( ABC \).
2. Угол \( \angle ABC \) равен половине центрального угла, соответствующего дуге \( AC \).
3. Треугольник \( ABC \) является равнобедренным, поскольку сторона \( AC \) равна стороне \( BC \) (по свойству хорд, опирающихся на одну дугу).

Теперь приступим к решению:

1. Выразим центральный угол \( \angle BAC \), опирающийся на дугу \( AC \), в зависимости от угла \( \angle ABC \). Поскольку угол \( \angle ABC \) равен 30° и является половиной центрального угла \( \angle BAC \), получаем: \( \angle BAC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 30° = 60° \).
2. Так как треугольник \( ABC \) является равнобедренным, мы знаем, что угол \( \angle BAC \) также равен углу \( \angle BCA \). То есть угол \( \angle BCA = 60° \).
3. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения длины хорды \( AB \):
\[ AB^2 = (2R)^2 - 2 \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot \cos(\angle BCA) \]
Подставив значение угла \( \angle BCA = 60° \) и значение радиуса \( R \), получим:
\[ AB^2 = 4R^2 - 4R^2 \cdot \cos(60°) \]
\[ AB^2 = 4R^2 - 4R^2 \cdot \frac{1}{2} \]
\[ AB^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2 \]
\[ AB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} \]

Таким образом, длина хорды \( AB \) при угле \( \angle ABC = 30° \) и радиусе окружности \( R \) равна \( R\sqrt{2} \).