Чему равен корень шестой степени из выражения 4^5*5^17 - корень шестой степени из выражения 4^7*5?

Для решения этой задачи, мы можем использовать два основных свойства степеней и их корней: свойство \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и свойство \(\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\).

Начнем с разложения формулы \(4^5 \cdot 5^{17}\):
\[4^5 \cdot 5^{17} = 4^{5+7} \cdot 5^{17}\]

Используя первое свойство степеней, мы можем переписать это как:
\[4^5 \cdot 5^{17} = (4^5 \cdot 5^7) \cdot 5^{10}\]

Теперь мы можем рассмотреть корень шестой степени из выражения \(4^5 \cdot 5^7\) и \(4^7 \cdot 5\). Используя свойство корней степеней, мы знаем, что \(\sqrt[6]{a^6} = a\). Таким образом, мы можем вычислить эти выражения следующим образом:

\[\begin{aligned}
\sqrt[6]{4^5 \cdot 5^7} &= \sqrt[6]{4^{6-1} \cdot 5^{6+1}} \\
&= \sqrt[6]{(4^6 \cdot 5^6) \cdot (4^{-1} \cdot 5)} \\
&= \sqrt[6]{(4 \cdot 5) \cdot (4^6 \cdot 5^6 \cdot 4^{-1})} \\
&= \sqrt[6]{20 \cdot (4^6 \cdot 5^6 \cdot 4^{-1})} \\
&= \sqrt[6]{20 \cdot (5^6)} \\
&= \sqrt[6]{20} \cdot \sqrt[6]{5^6} \\
&= 2 \cdot 5 \\
&= 10
\end{aligned}\]

Теперь рассмотрим корень шестой степени из выражения \(4^7 \cdot 5\):
\[\begin{aligned}
\sqrt[6]{4^7 \cdot 5} &= \sqrt[6]{4^{6+1} \cdot 5^1} \\
&= \sqrt[6]{(4^6 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5^{-1})} \\
&= \sqrt[6]{(4 \cdot 5^{-1}) \cdot (4^6 \cdot 5)} \\
&= \sqrt[6]{(4 \cdot 5^{-1}) \cdot 20} \\
&= \sqrt[6]{4} \cdot \sqrt[6]{5^{-1}} \cdot \sqrt[6]{20} \\
&= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{5}} \cdot \sqrt[6]{20} \\
\end{aligned}\]

Итак, мы можем сравнить два значения, которые мы получили:
\[\sqrt[6]{4^5 \cdot 5^7} = 10 \quad \text{и} \quad \sqrt[6]{4^7 \cdot 5} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{5}} \cdot \sqrt[6]{20}\]

Ответом на задачу будет:
\[\sqrt[6]{4^5 \cdot 5^7} - \sqrt[6]{4^7 \cdot 5} = 10 - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{5}} \cdot \sqrt[6]{20}\]