Чем можно заменить выражение sin2a×sin3a-cos2a×cos3a-cos5a​?

Конечно, я помогу вам решить эту задачу!

Для начала, давайте немного упростим данное выражение. Для этого мы можем использовать формулы приведения для тригонометрических функций.

Первая формула, которую мы можем применить, - это формула двойного угла для синуса:

\(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\).

Теперь выражение принимает следующий вид:

\(2\sin(a)\cos(a)\sin(3a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Мы также можем использовать формулу синуса для суммы углов:

\(\sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\).

Применим эту формулу для \(\sin(3a)\) и \(\cos(3a)\), получив:

\(2\sin(a)\cos(a)(\sin(2a)\cos(a)+\cos(2a)\sin(a))-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Теперь давайте сократим некоторые члены:

\(2\sin(a)\cos(a)(2\sin(a)\cos(a)\cos(a)+\cos^2(a)\sin(a))-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Упростим это еще больше:

\(2\sin(a)\cos(a)(2\sin(a)\cos^2(a)+\cos^2(a)\sin(a))-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Теперь у нас есть два одинаковых слагаемых в скобках, которые мы можем объединить:

\(2\sin(a)\cos(a)(4\sin(a)\cos^2(a))-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Умножим два множителя в скобках:

\(8\sin^2(a)\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Теперь у нас есть две формулы, которые мы можем использовать для дальнейшего упрощения.

Первая формула - это формула синуса для квадрата:

\(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x))\).

А вторая формула - это формула синуса для угла суммы:

\(\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)\).

Применим первую формулу для \(\sin^2(a)\):

\(\frac{1}{2}(1-\cos(2a))^2\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Далее, применим вторую формулу, чтобы избавиться от произведений:

\(\frac{1}{2}(1-\cos^2(2a))\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Упростим это еще больше:

\(\frac{1}{2}\sin^2(2a)\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Теперь рассмотрим формулу синуса для квадрата:

\(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1-\cos(2x))\).

Применим ее для \(\sin^2(2a)\):

\(\frac{1}{2}(1-\cos(4a))\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Таким образом, мы заменили исходное выражение, выражение sin(2a)×sin(3a)-cos(2a)×cos(3a)-cos(5a), новым выражением \(\frac{1}{2}(1-\cos(4a))\cos^3(a)-\cos^2(2a)\cos(3a)-\cos(5a)\).

Данный ответ более упрощен и эквивалентен исходному выражению, однако, заменить его еще более простым выражением явно не представляется возможным.