B) АО нүктесі бойынша О нүктесінен В нүктесіне радиусы r бар шеңбер жасалғанда, 0 АОВ = ∠ 30 жатса, АО ұзындығын табу

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку:

B) Дано: радиус \(r\), \(\angle AOV = 30^\circ\).
Нам нужно найти длину отрезка \(AO\).

Решение:
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
Так как \(\angle AOV = 30^\circ\), то \(\angle AOB\) также равен \(30^\circ\) (так как это угол на одной дуге с углом \(\angle AOV\)).
Три угла треугольника \(AOB\) равны между собой, поскольку это равносторонний треугольник.

Таким образом, \(\angle AOB = \angle AOV = 30^\circ\).
Но у нас есть также \(\angle AOB = 180^\circ - 2 \times \angle AOV\), так как это угол описывающей дуги.
Подставляем известные значения:
\(180^\circ - 2 \times 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Осталось вычислить длину отрезка \(AO\).
Заданный треугольник \(AOB\) - равносторонний треугольник.
В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Поэтому длина отрезка \(AO\) равна длине отрезка \(AB\).
Так как в треугольнике \(AOB\) угол \(\angle AOB\) равен \(120^\circ\), у нас есть основание и два прилежащих равных угла.
Мы можем разделить треугольник \(AOB\) на два равнобедренных треугольника и вычислить длину отрезка \(AB\).

В равнобедренном треугольнике угол между основанием и боковой стороной делится пополам.
Таким образом, у нас есть два равных угла по \(60^\circ\) в каждом равнобедренном треугольнике.
Треугольник \(AOB\) можно разделить на два равнобедренных треугольника \(AOB_1\) и \(AOB_2\) с углами \(\angle AOB_1 = \angle AOB_2 = 60^\circ\).
Обозначим длину отрезка \(AO\) как \(x\).

Теперь мы можем применить тригонометрическую формулу для нахождения стороны равнобедренного треугольника:
\[x = \frac{{AB_1}}{{\sin(\angle AOB_1)}} = \frac{{AB_2}}{{\sin(\angle AOB_2)}}\].
Так как у нас есть равнобедренные треугольники, у них равны только основания (\(AB_1 = AB_2\)) и мы знаем, что \(\angle AOB_1 = \angle AOB_2 = 60^\circ\), поэтому можно записать уравнение:
\[x = \frac{{AB}}{{\sin(60^\circ)}}\].

Синус угла \(60^\circ\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому можно продолжить уравнение:
\[x = \frac{{AB}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}} \Rightarrow x = \frac{{2 \times AB}}{{\sqrt{3}}}\].

Но мы также знаем, что длина отрезка \(AB\) равна \(2r\) (потому что это равносторонний треугольник со стороной \(2r\)).

Теперь мы можем выразить длину отрезка \(AO\) через \(r\):
\[x = \frac{{2 \times AB}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2 \times 2r}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{4r}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{4r \sqrt{3}}}{{3}}\].

Таким образом, длина отрезка \(AO\) равна \(\frac{{4r \sqrt{3}}}{{3}}\).

c) Дано: радиус \(r\), \(\angle AOB = 60^\circ\).
Нам нужно найти длину отрезка \(AB\).

Решение:
Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все стороны равны.
Таким образом, длина отрезка \(AB\) равна длине отрезка \(AO\).

Также у нас есть угол \(\angle AOB = 60^\circ\), что означает, что в треугольнике \(AOB\) все углы равны между собой, то есть каждый угол равен \(60^\circ\).

Так как в треугольнике \(AOB\) у нас есть основание и два прилежащих равных угла, мы можем разделить треугольник на два равнобедренных треугольника \(AOB_1\) и \(AOB_2\).

В равнобедренном треугольнике угол между основанием и боковой стороной делится пополам.
Таким образом, у нас есть два равных угла \(\angle AOB_1 = \angle AOB_2 = 30^\circ\) в каждом равнобедренном треугольнике.
Обозначим длину отрезка \(AO\) как \(x\).

Мы можем применить тригонометрическую формулу для нахождения стороны равнобедренного треугольника:
\[x = \frac{{AB_1}}{{\sin(\angle AOB_1)}} = \frac{{AB_2}}{{\sin(\angle AOB_2)}}\].
Так как у нас есть равнобедренные треугольники, у них равны только основания (\(AB_1 = AB_2\)) и мы знаем, что \(\angle AOB_1 = \angle AOB_2 = 30^\circ\), поэтому можно записать уравнение:
\[x = \frac{{AB}}{{\sin(30^\circ)}}\].

Синус угла \(30^\circ\) равен \(\frac{1}{2}\), поэтому можно продолжить уравнение:
\[x = \frac{{AB}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x = 2 \times AB\].

Мы выразили длину отрезка \(AO\) через \(r\) в предыдущей задаче, поэтому можем подставить это значение:
\(x = \frac{{4r \sqrt{3}}}{{3}}\).

Таким образом, длина отрезка \(AB\) равна \(\frac{{4r \sqrt{3}}}{{3}}\).