Яким видом трикутника є трикутник АВС з точками А (2; –4; 2), В (3; –3; 3), С (4; 0; 1)? Чи він є тупокутним

Для начала определим вид треугольника АВС. Для этого нам понадобятся формулы для вычисления длин сторон и углов треугольника по координатам его вершин.

1. Найдем длины сторон треугольника.

Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ AB = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}} \]
\[ BC = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}} \]
\[ CA = \sqrt{{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 + (z_A - z_C)^2}} \]

Подставим координаты точек А (2; –4; 2), В (3; –3; 3), С (4; 0; 1) в эти формулы:

\[ AB = \sqrt{{(3 - 2)^2 + (-3 - (-4))^2 + (3 - 2)^2}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]
\[ BC = \sqrt{{(4 - 3)^2 + (0 - (-3))^2 + (1 - 3)^2}} = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14} \]
\[ CA = \sqrt{{(2 - 4)^2 + (-4 - 0)^2 + (2 - 1)^2}} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{21} \]

2. Вычислим квадраты длин сторон треугольника.

\[ AB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3 \]
\[ BC^2 = (\sqrt{14})^2 = 14 \]
\[ CA^2 = (\sqrt{21})^2 = 21 \]

3. Определим вид треугольника по длинам его сторон.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
- Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.
- Если квадрат одной стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник является остроугольным.
- Если квадрат одной стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник является тупоугольным.

Проверим условия для нашего треугольника АВС:

AB^2 < BC^2 + CA^2 => 3 < 14 + 21 => 3 < 35

BC^2 < AB^2 + CA^2 => 14 < 3 + 21 => 14 < 24

CA^2 < AB^2 + BC^2 => 21 < 3 + 14 => 21 < 17

Исходя из этих условий, мы можем заключить, что треугольник АВС является остроугольным.

Таким образом, ответ на задачу: треугольник АВС, заданный точками А (2; –4; 2), В (3; –3; 3), С (4; 0; 1), является остроугольным.