A8. Find the denominator of the progression (bn), if b4 = 81, b2 = 9. A9. Find the first term of the progression

Давайте решим задачу по очереди.

A8. Чтобы найти знаменатель прогрессии (bn), мы можем воспользоваться формулой в общем виде для арифметической прогрессии: $b_n=b_1+(n-1)d$, где $b_1$ - первый член прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии, а $d$ - разность прогрессии.

У нас даны значения $b_4=81$ и $b_2=9$. Мы можем использовать эти значения, чтобы составить два уравнения и решить систему уравнений.

Используя формулу, получаем следующие уравнения:
$$b_4=b_1+3d=81$$
$$b_2=b_1+d=9$$

Решим эту систему уравнений.

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $b_1$:
$$(b_1+3d)-(b_1+d)=81-9$$
$$2d=72$$
$$d=36$$

Подставим значение $d$ обратно во второе уравнение:
$$b_1+36=9$$
$$b_1=-27$$

Теперь у нас есть значения первого члена и разности прогрессии: $b_1=-27$ и $d=36$. Чтобы найти знаменатель прогрессии, нам нужно найти значение $b_n$ при известном значении $n$. Если нам даны номера членов прогрессии, мы можем использовать формулу $b_n=b_1+(n-1)d$ для нахождения значений прогрессии.

В данном случае нам нужно найти знаменатель, поэтому мы можем использовать значение $n=4$:
$$b_4=-27+(4-1)\cdot 36$$
$$b_4=-27+3\cdot 36$$
$$b_4=-27+108$$
$$b_4=81$$

Знаменатель прогрессии равен 81.

A9. Мы можем использовать аналогичный подход для этой задачи.

У нас даны значения $b_3=1$ и $b_4=2$.

Используя формулу для арифметической прогрессии, мы можем записать уравнения:
$$b_3=b_1+2d=1$$
$$b_4=b_1+3d=2$$

Вычтем первое уравнение из второго:
$$(b_1+3d)-(b_1+2d)=2-1$$
$$d=1$$

Подставим значение $d$ в первое уравнение:
$$b_1+2=1$$
$$b_1=-1$$

Теперь, используя значение $b_1=-1$ и $d=1$, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти первый член прогрессии.

У нас дано $n=3$, поэтому мы найдем:
$$b_3=-1+(3-1)\cdot 1$$
$$b_3=-1+2\cdot 1$$
$$b_3=1$$

Первый член прогрессии равен 1.

A10. Чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n=\frac{n}{2}(b_1+b_n)$, где $S_n$ - сумма первых $n$ членов, $b_1$ - первый член, а $b_n$ - последний член.

У нас даны значения первых двух членов $b_1=3$ и $b_2=9$.

Мы можем использовать эти значения, чтобы найти разность прогрессии $d$:
$$d=b_2-b_1=9-3=6$$

Теперь мы можем найти последний член прогрессии $b_5$ с использованием разности и значения первого члена:
$$b_5=b_1+(5-1)d=3+4\cdot 6=3+24=27$$

Теперь, используя формулу для суммы прогрессии, мы можем вычислить сумму первых пяти членов:
$$S_5=\frac{5}{2}(b_1+b_5)=\frac{5}{2}(3+27)=\frac{5}{2}\cdot 30=75$$

Сумма первых пяти членов прогрессии равна 75.

B1. Чтобы найти номер члена прогрессии ($n$), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии.

У нас даны значения $a_3=-2$, $d=3$ и $a_n=22$.

Мы можем использовать формулу $a_n=a_1+(n-1)d$, чтобы записать уравнение:
$$-2+(n-1)\cdot 3=22$$

Решим это уравнение:

$$(n-1)\cdot 3=22+2$$
$$(n-1)\cdot 3=24$$
$$n-1=\frac{24}{3}$$
$$n-1=8$$
$$n=9$$

Номер члена прогрессии равен 9.

B2. Чтобы проверить, является ли число 384 членом прогрессии $b_n=3\cdot 2^n$, мы можем подставить это число в формулу и проверить, выполняется ли она.

Подставим $384$ как $b_n$ и решим уравнение:

$$384=3\cdot 2^n$$

Для нахождения значения $n$ воспользуемся тем, что $384$ можно представить как $384=3\cdot 2^7$.

Сравним $2^n$ и $2^7$:

$$2^n=2^7$$

Поэтому значение $n$ равно $7$.

B3. У нас дана арифметическая прогрессия с первым членом $-13$ и разностью $d=-14-(-13)=-1$.

Чтобы найти номера членов прогрессии, значение которых отрицательно, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии и просто проверить каждый член прогрессии:

$$-13+(n-1)\cdot (-1)<0$$

Решим это неравенство:

$$-13-n+1<0$$
$$-n-12<0$$
$$-n<12$$
$$n>-12$$

Таким образом, все члены прогрессии с номерами, большими, чем $-12$, будут отрицательными.

B4. Пусть первый член прогрессии равен $a_1$ и разность прогрессии равна $d$.

У нас дано, что сумма второго и четвертого членов прогрессии равна $14$: $a_2+a_4=14$.

Также дано, что седьмой член прогрессии на $12$ больше третьего члена: $a_7=a_3+12$.

Мы можем использовать формулу арифметической прогрессии для нахождения выражений для $a_2$, $a_3$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:

$$a_2=a_1+d$$
$$a_3=a_1+2d$$
$$a_4=a_1+3d$$

Теперь мы можем составить систему уравнений, используя данную информацию:

$$\{\begin{array}{l}{a}_2+a_4=14\\ a_7=a_3+12\end{array}$$

Подставим выражения для $a_2$, $a_3$ и $a_4$ в первое уравнение:

$$(a_1+d)+(a_1+3d)=14$$
$$2a_1+4d=14$$
$$2a_1+4\cdot (-d)=14$$ #Минусомой дополняем разностит умножаем на минус
$$2a_1-4d=14$$

Теперь, используем второе уравнение, чтобы выразить $a_7$ через $a_1$ и $d$:

$$a_7=a_3+12$$
$$a_1+6d=a_1+2d+12$$
$$4d=12$$
$$d=3$$

Теперь, когда у нас есть значение $d$, мы можем подставить его в первое уравнение:

$$2a_1-4\cdot 3=14$$
$$2a_1-12=14$$
$$2a_1=26$$
$$a_1=13$$

Теперь, когда у нас есть значения $a_1$ и $d$, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти все значения членов прогрессии.

Ответ:
- Знаменатель прогрессии равен $81$.
- Первый член прогрессии равен $1$.
- Сумма первых пяти членов прогрессии равна $75$.
- Номер члена прогрессии равен $9$.
- Число $384$ не является членом прогрессии $b_n=3\cdot 2^n$.
- Отрицательными будут значения членов прогрессии с номерами, большими, чем $-12$.
- Первый член прогрессии равен $13$.