A8. Find the denominator of the progression (bn), if b4 = 81, b2 = 9.
A9. Find the first term of the progression (bn), if b3 = 1, b4 = 2.
A10. Find the sum of the first five terms of the progression 3; 9; ... part 2.
B1. In an arithmetic progression (an), find n, if a3 = -2, d = 3, an = 22.
B2. Is the number 384 a term of the progression bn = 3 · 2n?
B3. In an arithmetic progression: -13; -14; ..., indicate the numbers of the terms whose values are negative.
B4. The sum of the second and fourth terms of an arithmetic progression is 14, and the seventh term is 12 more than the third term. Find the difference and the first term of this progression.
B5.
A9. Find the first term of the progression (bn), if b3 = 1, b4 = 2.
A10. Find the sum of the first five terms of the progression 3; 9; ... part 2.
B1. In an arithmetic progression (an), find n, if a3 = -2, d = 3, an = 22.
B2. Is the number 384 a term of the progression bn = 3 · 2n?
B3. In an arithmetic progression: -13; -14; ..., indicate the numbers of the terms whose values are negative.
B4. The sum of the second and fourth terms of an arithmetic progression is 14, and the seventh term is 12 more than the third term. Find the difference and the first term of this progression.
B5.
Dobryy_Angel
Давайте решим задачу по очереди.
A8. Чтобы найти знаменатель прогрессии (bn), мы можем воспользоваться формулой в общем виде для арифметической прогрессии: \(b_n = b_1 + (n-1)d\), где \(b_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.
У нас даны значения \(b_4 = 81\) и \(b_2 = 9\). Мы можем использовать эти значения, чтобы составить два уравнения и решить систему уравнений.
Используя формулу, получаем следующие уравнения:
\[b_4 = b_1 + 3d = 81\]
\[b_2 = b_1 + d = 9\]
Решим эту систему уравнений.
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от \(b_1\):
\[(b_1 + 3d) - (b_1 + d) = 81 - 9\]
\[2d = 72\]
\[d = 36\]
Подставим значение \(d\) обратно во второе уравнение:
\[b_1 + 36 = 9\]
\[b_1 = -27\]
Теперь у нас есть значения первого члена и разности прогрессии: \(b_1 = -27\) и \(d = 36\). Чтобы найти знаменатель прогрессии, нам нужно найти значение \(b_n\) при известном значении \(n\). Если нам даны номера членов прогрессии, мы можем использовать формулу \(b_n = b_1 + (n-1)d\) для нахождения значений прогрессии.
В данном случае нам нужно найти знаменатель, поэтому мы можем использовать значение \(n = 4\):
\[b_4 = -27 + (4-1) \cdot 36\]
\[b_4 = -27 + 3 \cdot 36\]
\[b_4 = -27 + 108\]
\[b_4 = 81\]
Знаменатель прогрессии равен 81.
A9. Мы можем использовать аналогичный подход для этой задачи.
У нас даны значения \(b_3 = 1\) и \(b_4 = 2\).
Используя формулу для арифметической прогрессии, мы можем записать уравнения:
\[b_3 = b_1 + 2d = 1\]
\[b_4 = b_1 + 3d = 2\]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[(b_1 + 3d) - (b_1 + 2d) = 2 - 1\]
\[d = 1\]
Подставим значение \(d\) в первое уравнение:
\[b_1 + 2 = 1\]
\[b_1 = -1\]
Теперь, используя значение \(b_1 = -1\) и \(d = 1\), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти первый член прогрессии.
У нас дано \(n = 3\), поэтому мы найдем:
\[b_3 = -1 + (3 - 1) \cdot 1\]
\[b_3 = -1 + 2 \cdot 1\]
\[b_3 = 1\]
Первый член прогрессии равен 1.
A10. Чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(b_1 + b_n)\), где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(b_1\) - первый член, а \(b_n\) - последний член.
У нас даны значения первых двух членов \(b_1 = 3\) и \(b_2 = 9\).
Мы можем использовать эти значения, чтобы найти разность прогрессии \(d\):
\[d = b_2 - b_1 = 9 - 3 = 6\]
Теперь мы можем найти последний член прогрессии \(b_5\) с использованием разности и значения первого члена:
\[b_5 = b_1 + (5-1)d = 3 + 4 \cdot 6 = 3 + 24 = 27\]
Теперь, используя формулу для суммы прогрессии, мы можем вычислить сумму первых пяти членов:
\[S_5 = \frac{5}{2}(b_1 + b_5) = \frac{5}{2}(3 + 27) = \frac{5}{2} \cdot 30 = 75\]
Сумма первых пяти членов прогрессии равна 75.
B1. Чтобы найти номер члена прогрессии (\(n\)), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии.
У нас даны значения \(a_3 = -2\), \(d = 3\) и \(a_n = 22\).
Мы можем использовать формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\), чтобы записать уравнение:
\[-2 + (n-1) \cdot 3 = 22\]
Решим это уравнение:
\[(n-1) \cdot 3 = 22 + 2\]
\[(n-1) \cdot 3 = 24\]
\[n-1 = \frac{24}{3}\]
\[n-1 = 8\]
\[n = 9\]
Номер члена прогрессии равен 9.
B2. Чтобы проверить, является ли число 384 членом прогрессии \(b_n = 3 \cdot 2^n\), мы можем подставить это число в формулу и проверить, выполняется ли она.
Подставим \(384\) как \(b_n\) и решим уравнение:
\[384 = 3 \cdot 2^n\]
Для нахождения значения \(n\) воспользуемся тем, что \(384\) можно представить как \(384 = 3 \cdot 2^7\).
Сравним \(2^n\) и \(2^7\):
\[2^n = 2^7\]
Поэтому значение \(n\) равно \(7\).
B3. У нас дана арифметическая прогрессия с первым членом \(-13\) и разностью \(d = -14 - (-13) = -1\).
Чтобы найти номера членов прогрессии, значение которых отрицательно, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии и просто проверить каждый член прогрессии:
\[-13 + (n-1) \cdot (-1) < 0\]
Решим это неравенство:
\[-13 - n + 1 < 0\]
\[-n - 12 < 0\]
\[-n < 12\]
\[n > -12\]
Таким образом, все члены прогрессии с номерами, большими, чем \(-12\), будут отрицательными.
B4. Пусть первый член прогрессии равен \(a_1\) и разность прогрессии равна \(d\).
У нас дано, что сумма второго и четвертого членов прогрессии равна \(14\): \(a_2 + a_4 = 14\).
Также дано, что седьмой член прогрессии на \(12\) больше третьего члена: \(a_7 = a_3 + 12\).
Мы можем использовать формулу арифметической прогрессии для нахождения выражений для \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(d\):
\[a_2 = a_1 + d\]
\[a_3 = a_1 + 2d\]
\[a_4 = a_1 + 3d\]
Теперь мы можем составить систему уравнений, используя данную информацию:
\[\begin{cases} a_2 + a_4 = 14 \\ a_7 = a_3 + 12 \end{cases}\]
Подставим выражения для \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\) в первое уравнение:
\[(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 14\]
\[2a_1 + 4d = 14\]
\[2a_1 + 4 \cdot (-d) = 14\] #Минусомой дополняем разностит умножаем на минус
\[2a_1 - 4d = 14\]
Теперь, используем второе уравнение, чтобы выразить \(a_7\) через \(a_1\) и \(d\):
\[a_7 = a_3 + 12\]
\[a_1 + 6d = a_1 + 2d + 12\]
\[4d = 12\]
\[d = 3\]
Теперь, когда у нас есть значение \(d\), мы можем подставить его в первое уравнение:
\[2a_1 - 4 \cdot 3 = 14\]
\[2a_1 - 12 = 14\]
\[2a_1 = 26\]
\[a_1 = 13\]
Теперь, когда у нас есть значения \(a_1\) и \(d\), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти все значения членов прогрессии.
Ответ:
- Знаменатель прогрессии равен \(81\).
- Первый член прогрессии равен \(1\).
- Сумма первых пяти членов прогрессии равна \(75\).
- Номер члена прогрессии равен \(9\).
- Число \(384\) не является членом прогрессии \(b_n = 3 \cdot 2^n\).
- Отрицательными будут значения членов прогрессии с номерами, большими, чем \(-12\).
- Первый член прогрессии равен \(13\).
A8. Чтобы найти знаменатель прогрессии (bn), мы можем воспользоваться формулой в общем виде для арифметической прогрессии: \(b_n = b_1 + (n-1)d\), где \(b_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.
У нас даны значения \(b_4 = 81\) и \(b_2 = 9\). Мы можем использовать эти значения, чтобы составить два уравнения и решить систему уравнений.
Используя формулу, получаем следующие уравнения:
\[b_4 = b_1 + 3d = 81\]
\[b_2 = b_1 + d = 9\]
Решим эту систему уравнений.
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от \(b_1\):
\[(b_1 + 3d) - (b_1 + d) = 81 - 9\]
\[2d = 72\]
\[d = 36\]
Подставим значение \(d\) обратно во второе уравнение:
\[b_1 + 36 = 9\]
\[b_1 = -27\]
Теперь у нас есть значения первого члена и разности прогрессии: \(b_1 = -27\) и \(d = 36\). Чтобы найти знаменатель прогрессии, нам нужно найти значение \(b_n\) при известном значении \(n\). Если нам даны номера членов прогрессии, мы можем использовать формулу \(b_n = b_1 + (n-1)d\) для нахождения значений прогрессии.
В данном случае нам нужно найти знаменатель, поэтому мы можем использовать значение \(n = 4\):
\[b_4 = -27 + (4-1) \cdot 36\]
\[b_4 = -27 + 3 \cdot 36\]
\[b_4 = -27 + 108\]
\[b_4 = 81\]
Знаменатель прогрессии равен 81.
A9. Мы можем использовать аналогичный подход для этой задачи.
У нас даны значения \(b_3 = 1\) и \(b_4 = 2\).
Используя формулу для арифметической прогрессии, мы можем записать уравнения:
\[b_3 = b_1 + 2d = 1\]
\[b_4 = b_1 + 3d = 2\]
Вычтем первое уравнение из второго:
\[(b_1 + 3d) - (b_1 + 2d) = 2 - 1\]
\[d = 1\]
Подставим значение \(d\) в первое уравнение:
\[b_1 + 2 = 1\]
\[b_1 = -1\]
Теперь, используя значение \(b_1 = -1\) и \(d = 1\), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти первый член прогрессии.
У нас дано \(n = 3\), поэтому мы найдем:
\[b_3 = -1 + (3 - 1) \cdot 1\]
\[b_3 = -1 + 2 \cdot 1\]
\[b_3 = 1\]
Первый член прогрессии равен 1.
A10. Чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(b_1 + b_n)\), где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(b_1\) - первый член, а \(b_n\) - последний член.
У нас даны значения первых двух членов \(b_1 = 3\) и \(b_2 = 9\).
Мы можем использовать эти значения, чтобы найти разность прогрессии \(d\):
\[d = b_2 - b_1 = 9 - 3 = 6\]
Теперь мы можем найти последний член прогрессии \(b_5\) с использованием разности и значения первого члена:
\[b_5 = b_1 + (5-1)d = 3 + 4 \cdot 6 = 3 + 24 = 27\]
Теперь, используя формулу для суммы прогрессии, мы можем вычислить сумму первых пяти членов:
\[S_5 = \frac{5}{2}(b_1 + b_5) = \frac{5}{2}(3 + 27) = \frac{5}{2} \cdot 30 = 75\]
Сумма первых пяти членов прогрессии равна 75.
B1. Чтобы найти номер члена прогрессии (\(n\)), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии.
У нас даны значения \(a_3 = -2\), \(d = 3\) и \(a_n = 22\).
Мы можем использовать формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\), чтобы записать уравнение:
\[-2 + (n-1) \cdot 3 = 22\]
Решим это уравнение:
\[(n-1) \cdot 3 = 22 + 2\]
\[(n-1) \cdot 3 = 24\]
\[n-1 = \frac{24}{3}\]
\[n-1 = 8\]
\[n = 9\]
Номер члена прогрессии равен 9.
B2. Чтобы проверить, является ли число 384 членом прогрессии \(b_n = 3 \cdot 2^n\), мы можем подставить это число в формулу и проверить, выполняется ли она.
Подставим \(384\) как \(b_n\) и решим уравнение:
\[384 = 3 \cdot 2^n\]
Для нахождения значения \(n\) воспользуемся тем, что \(384\) можно представить как \(384 = 3 \cdot 2^7\).
Сравним \(2^n\) и \(2^7\):
\[2^n = 2^7\]
Поэтому значение \(n\) равно \(7\).
B3. У нас дана арифметическая прогрессия с первым членом \(-13\) и разностью \(d = -14 - (-13) = -1\).
Чтобы найти номера членов прогрессии, значение которых отрицательно, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии и просто проверить каждый член прогрессии:
\[-13 + (n-1) \cdot (-1) < 0\]
Решим это неравенство:
\[-13 - n + 1 < 0\]
\[-n - 12 < 0\]
\[-n < 12\]
\[n > -12\]
Таким образом, все члены прогрессии с номерами, большими, чем \(-12\), будут отрицательными.
B4. Пусть первый член прогрессии равен \(a_1\) и разность прогрессии равна \(d\).
У нас дано, что сумма второго и четвертого членов прогрессии равна \(14\): \(a_2 + a_4 = 14\).
Также дано, что седьмой член прогрессии на \(12\) больше третьего члена: \(a_7 = a_3 + 12\).
Мы можем использовать формулу арифметической прогрессии для нахождения выражений для \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\) через \(a_1\) и \(d\):
\[a_2 = a_1 + d\]
\[a_3 = a_1 + 2d\]
\[a_4 = a_1 + 3d\]
Теперь мы можем составить систему уравнений, используя данную информацию:
\[\begin{cases} a_2 + a_4 = 14 \\ a_7 = a_3 + 12 \end{cases}\]
Подставим выражения для \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\) в первое уравнение:
\[(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 14\]
\[2a_1 + 4d = 14\]
\[2a_1 + 4 \cdot (-d) = 14\] #Минусомой дополняем разностит умножаем на минус
\[2a_1 - 4d = 14\]
Теперь, используем второе уравнение, чтобы выразить \(a_7\) через \(a_1\) и \(d\):
\[a_7 = a_3 + 12\]
\[a_1 + 6d = a_1 + 2d + 12\]
\[4d = 12\]
\[d = 3\]
Теперь, когда у нас есть значение \(d\), мы можем подставить его в первое уравнение:
\[2a_1 - 4 \cdot 3 = 14\]
\[2a_1 - 12 = 14\]
\[2a_1 = 26\]
\[a_1 = 13\]
Теперь, когда у нас есть значения \(a_1\) и \(d\), мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, чтобы найти все значения членов прогрессии.
Ответ:
- Знаменатель прогрессии равен \(81\).
- Первый член прогрессии равен \(1\).
- Сумма первых пяти членов прогрессии равна \(75\).
- Номер члена прогрессии равен \(9\).
- Число \(384\) не является членом прогрессии \(b_n = 3 \cdot 2^n\).
- Отрицательными будут значения членов прогрессии с номерами, большими, чем \(-12\).
- Первый член прогрессии равен \(13\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
