А2. В каком из выбранных интервалов находится корень уравнения (〖1/9)〗^(-7)=3^(5х-7)? а) (-5;├ -1]; б) (-1;3

Задача А2. Для определения интервала, в котором находится корень уравнения \((1/9)^{-7} = 3^{5x-7}\), мы будем сравнивать значения выражения \(3^{5x-7}\) с левой и правой границами каждого интервала.

а) Исследуем интервал (-5; -1]
Подставим \(x = -2\) в уравнение:
\((1/9)^{-7} = 3^{5(-2)-7}.\)
Упрощаем:
\(9^7 = 3^{-17}.\)
Поскольку левая сторона уравнения - это положительное число, а правая сторона - положительная дробь, мы можем сделать вывод, что интервал (-5; -1] не содержит корня этого уравнения.

б) Исследуем интервал (-1; 3)
Подставим \(x = 0\) в уравнение:
\((1/9)^{-7} = 3^{5(0)-7}.\)
Упрощаем:
\(1 = 3^{-7}.\)
Мы видим, что левая и правая стороны уравнения совпадают, следовательно, корень уравнения находится в интервале (-1; 3).

в) Исследуем интервал (4; 6)
Подставим \(x = 5\) в уравнение:
\((1/9)^{-7} = 3^{5(5)-7}.\)
Упрощаем:
\(9^{-7} = 3^{18}.\)
Снова мы видим, что левая и правая стороны уравнения не совпадают, поэтому корень не находится в интервале (4; 6).

г) Исследуем интервал [2; 4]
Подставим \(x = 3\) в уравнение:
\((1/9)^{-7} = 3^{5(3)-7}.\)
Упрощаем:
\(9^7 = 3^8.\)
Так как левая и правая стороны уравнения снова не совпадают, корень не находится в интервале [2; 4].

Таким образом, единственный интервал, в котором находится корень уравнения, это интервал (-1; 3).

Задача А3. Для решения неравенства \(\log_{1/3}(x-3) \geq -2\) используем свойство логарифма: \(\log_a b \geq c\) равносильно \(b \geq a^c\).
Применяем это свойство для нашего неравенства:
\(x-3 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}.\)
Упрощаем:
\(x-3 \geq 3^2.\)
\(x-3 \geq 9.\)
Добавляем 3 к обеим сторонам неравенства:
\(x \geq 12.\)
Таким образом, решением неравенства является \(x \geq 12\).

Задача А4. Результатом выражения \( \cos 2\alpha - \cos^2(\alpha+\pi) \) является \( -\cos^2 \alpha \).

Обоснование:
Мы знаем, что \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \) (формула двойного угла для косинуса) и \( \cos(\alpha+\pi) = -\cos \alpha \) (формула суммы углов для косинуса).
Подставляем эти значения в исходное выражение:
\( \cos 2\alpha - \cos^2(\alpha+\pi) = 1 - 2\sin^2 \alpha - (-\cos \alpha)^2 \).
Упрощаем:
\( 1 - 2\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \).
Мы знаем, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (тождество Пифагора).
Подставляем это значение и получаем:
\( 1 - 2\sin^2 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha) \).
Упрощаем:
\( -\sin^2 \alpha \).
Таким образом, результатом выражения является \( -\cos^2 \alpha \).