Является ли последовательность (bn), заданная формулой bn=4*3^n-1, геометрической прогрессией? Можно ли это объяснить?

Да, мы можем проверить, является ли данная последовательность геометрической прогрессией.

Для этого нам необходимо убедиться, что отношение любых двух соседних членов последовательности будет постоянным.

Данная последовательность задана формулой \(b_n = 4 \cdot 3^{n-1}\), где \(n\) - порядковый номер элемента в последовательности.

Давайте проверим это.

Для наглядности, рассмотрим первые несколько членов последовательности (подставим значения от 1 до 5):

\(b_1 = 4 \cdot 3^{1-1} = 4 \cdot 3^0 = 4 \cdot 1 = 4\)

\(b_2 = 4 \cdot 3^{2-1} = 4 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12\)

\(b_3 = 4 \cdot 3^{3-1} = 4 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)

\(b_4 = 4 \cdot 3^{4-1} = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108\)

\(b_5 = 4 \cdot 3^{5-1} = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324\)

Мы видим, что значения членов последовательности растут с каждым шагом.

Теперь давайте вычислим отношение любых двух соседних членов последовательности:

\(\frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{4} = 3\)

\(\frac{b_3}{b_2} = \frac{36}{12} = 3\)

\(\frac{b_4}{b_3} = \frac{108}{36} = 3\)

\(\frac{b_5}{b_4} = \frac{324}{108} = 3\)

Мы видим, что в каждом случае отношение равно 3. Это означает, что отношение любых двух соседних членов последовательности одинаковое и постоянное, что соответствует определению геометрической прогрессии.

Таким образом, последовательность \((b_n)\), заданная формулой \(b_n = 4 \cdot 3^{n-1}\), является геометрической прогрессией.