а) За все время вращения шкива диаметром d = 400 мм установить, сколько оборотов он сделал и какова средняя угловая

а) Для начала определим, какой путь проходит точка на краю шкива за один оборот. Поскольку диаметр шкива равен 400 мм, то радиус будет равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{{400 \, \text{мм}}}{2} = 200 \, \text{мм}\).

Чтобы найти длину окружности шкива \(C\), расстояние, пройденное точкой на краю шкива за один оборот, мы можем использовать следующую формулу:

\[C = 2 \pi r\]

Подставив значение радиуса \(r\), найдем:

\[C = 2 \pi \cdot 200 \, \text{мм}\]

Сначала нужно преобразовать радиус в метры, поскольку результат будет также в метрах. Обратим внимание на то, что 1 метр содержит 1000 миллиметров. Таким образом, радиус в метрах будет равен:

\[r = \frac{{200 \, \text{мм}}}{1000} = 0.2 \, \text{м}\]

Теперь мы можем найти значение окружности, подставив радиус в формулу:

\[C = 2 \pi \cdot 0.2 \, \text{м} \approx 1.26 \, \text{м}\]

Таким образом, точка на краю шкива проходит окружность длиной около 1.26 метра за один оборот.

Теперь, чтобы определить, сколько оборотов шкив делает за все время вращения, нам нужно знать время вращения. Поскольку времени в задаче не дано, предположим, что шкив вращается в течение \(t\) секунд. Таким образом, скорость шкива можно определить как отношение пути, пройденного за все время, к этому времени:

\[v = \frac{C}{t}\]

Теперь, разделим путь \(C\) на кратный ему путь, чтобы найти количество оборотов шкива \(N\):

\[N = \frac{{C \cdot N}}{C}\]

Подставив значения пути \(C\) и радиуса \(r\), найдем:

\[N = \frac{{1.26 \, \text{м}}}{{1.26 \, \text{м}}}\]

Таким образом, шкив делает 1 полный оборот за время вращения.

Чтобы найти среднюю угловую скорость шкива \(\omega\), мы используем формулу:

\[\omega = \frac{{2 \pi N}}{{t}}\]

где \(\omega\) - угловая скорость в радианах в секунду, \(N\) - обороты, \(t\) - время вращения.

Подставляя значения, получим:

\[\omega = \frac{{2 \pi \cdot 1}}{{t}}\]

Таким образом, средняя угловая скорость шкива равна \(\frac{{2 \pi}}{{t}}\) радианов в секунду.

б) Для определения окружной скорости точки, находящейся на краю шкива, после 12 секунд равноускоренного движения, нам нужно знать значение угловой скорости и радиус.

Угловая скорость \(\omega\) мы можем выразить через время и угол поворота:

\[\omega = \frac{{\alpha}}{{t}}\]

где \(\alpha\) - угол поворота в радианах. В данной задаче у нас равноускорено движение, поэтому можно воспользоваться следующей формулой:

\[\alpha = \omega_0 t + \frac{{1}}{{2}} \cdot \alpha \cdot t^2\]

где \(\omega_0\) - начальная угловая скорость, \(\alpha\) - угловое ускорение, \(t\) - время.

Мы знаем, что после 12 секунд равноускоренного движения шкива, угловая скорость \(\omega = \frac{{2 \pi}}{{t}}\) радианов в секунду. Подставим это значение в формулу и найдем угол поворота \(\alpha\):

\[\alpha = \omega_0 \cdot t + \frac{{1}}{{2}} \cdot \alpha \cdot t^2\]
\[\alpha = \left(\frac{{2 \pi}}{{12}}\right) \cdot 12 + \frac{{1}}{{2}} \cdot \alpha \cdot 12^2\]
\[\alpha = 2 \pi + 6 \alpha\]
\[5 \alpha = 2 \pi\]
\[\alpha = \frac{{2 \pi}}{{5}}\]

Теперь, чтобы найти окружную скорость \(v\) точки на краю шкива, мы используем следующую формулу:

\[v = \omega \cdot r\]

Подставим значения угловой скорости и радиуса:

\[v = \left(\frac{{2 \pi}}{{12}}\right) \cdot 0.2 \, \text{м}\]

Упрощаем выражение:

\[v = \frac{{\pi}}{{6}} \cdot 0.2 \, \text{м}\]
\[v = \frac{{\pi}}{{30}} \, \text{м/с}\]

Таким образом, после 12 секунд равноускоренного движения, окружная скорость точек, находящихся на краю шкива, равна \(\frac{{\pi}}{{30}}\) метра в секунду.