а) Які площі мають основи прямокутного паралелепіпеда, якщо його сторона та висота дорівнюють 15 і 10 см відповідно?

а) Для розв"язання цієї задачі, треба знати формулу для знаходження площі прямокутника:

\[Площа = довжина \times ширина\]

Працюючи з прямокутним паралелепіпедом, основа буде прямокутником і має дві сторони - довжину і ширину. Отже, довжина і ширина будуть сторонами прямокутника, а висота паралелепіпеда не використовується для обчислення площі основи.

За умовою завдання, сторона паралелепіпеда дорівнює 15 см, а його висота - 10 см. Оскільки не вказано, яка зі сторін є довжиною, виберемо одну сторону як довжину, а іншу - як ширину.

Тоді, площа основи прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою:

\[Площа_{основи} = довжина \times ширина = 15 \times 10 = 150 \: см^2\]

Отже, площа основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 150 квадратним сантиметрам.

б) Для пошуку площі перерізу, побудованого через діагональ основи і середину протилежного бічного ребра прямокутного паралелепіпеда, треба знати певні формули.

Діагональ основи прямокутного паралелепіпеда можна знайти за допомогою теореми Піфагора. Зауважте, що при роботі з діагоналлю нашого прямокутного паралелепіпеда, ми маємо справу з прямокутним трикутником.

В нашому випадку, довжина основи паралелепіпеда - 15 см, а ширина - 10 см. Оскільки не вказано, яка зі сторін є діагоналлю, використаємо формулу:

\[
Діагональ_{основи} = \sqrt{довжина^2 + ширина^2}
\]

\[= \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18.03 \: см\]

Тепер, коли ми знаємо довжину діагоналі основи, ми можемо знайти середину протилежного бічного ребра.

Зауважте, що середина протилежного бічного ребра створює прямокутний трикутник з половиною довжини протилежного бічного ребра і діагоналлю основи. Оскільки половина довжини протилежного ребра становить половину висоти паралелепіпеда, то:

\[Середина = \frac{Висота}{2} = \frac{10}{2} = 5 \: см\]

Тепер, ми можемо обчислити площу перерізу, що будується через діагональ основи і середину протилежного бічного ребра.

\[Площа_{перерізу} = \frac{1}{2} \times Діагональ_{основи} \times Середина\]

\[= \frac{1}{2} \times 18.03 \times 5 = 45.07 \: см^2\]

Отже, площа перерізу, побудованого через діагональ основи і середину протилежного бічного ребра, становить приблизно 45.07 квадратних сантиметрів.