Яку довжину має менша діагональ ромба, якщо площа ромба дорівнює 600 см квадратних і довжина кола, вписаного в нього

Для решения этой задачи, нам потребуется знать некоторые свойства ромба и формулы для вычисления его диагонали.

Сначала давайте вспомним некоторые свойства ромба. Ромб - это четырехугольник со следующими свойствами:
1. Все стороны ромба имеют одинаковую длину.
2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят его на четыре равных треугольника.

Мы знаем, что площадь ромба составляет 600 квадратных сантиметров. Формула для вычисления площади ромба - это половина произведения длин его диагоналей. Пусть длины большей и меньшей диагоналей ромба обозначаются соответственно \(d_1\) и \(d_2\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[\frac{{d_1 \cdot d_2}}{2} = 600\]

Далее, мы знаем, что вписанное в ромб кольцо - это окружность, которая касается всех сторон ромба. Если обозначить длину окружности круга вписанного в ромб за \(C\), мы можем написать следующее уравнение:

\[C = \pi \cdot d_2\]

Теперь давайте решим систему уравнений и найдем значение \(d_2\).

Сначала выразим из первого уравнения \(d_2\):

\[d_2 = \frac{{2 \cdot 600}}{d_1}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[C = \pi \cdot \left(\frac{{2 \cdot 600}}{d_1}\right)\]

Теперь, чтобы найти значение \(d_1\), мы также должны знать, как связаны длина окружности с радиусом окружности. Формула для длины окружности - это произведение радиуса на \(2 \pi\). Поскольку радиус окружности равен \(d_1/2\) (половина длины диагонали), мы можем записать следующее уравнение:

\[C = 2 \pi \cdot \frac{{d_1}}{2}\]

Делая замену \(C = \pi \cdot \left(\frac{{2 \cdot 600}}{d_1}\right)\), получаем:

\[\pi \cdot \left(\frac{{2 \cdot 600}}{d_1}\right) = 2 \pi \cdot \frac{{d_1}}{2}\]

Мы можем сократить \(\pi\) с обоих сторон и упростить уравнение:

\[\frac{{2 \cdot 600}}{d_1} = \frac{{d_1}}{2}\]

Перемножим обе стороны уравнения на \(d_1\), чтобы избавиться от дроби:

\[4 \cdot 600 = d_1^2\]

Рассчитаем это:

\[2400 = d_1^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[d_1 = \sqrt{2400}\]

Вычисляя значение, получим:

\[d_1 \approx 48.99\]

Итак, меньшая диагональ ромба имеет длину около 48.99 сантиметров.