А) Возможно ли доказать, что переменная xn=5-n является неограниченной, используя определение неограниченной переменной

Хорошо, давайте начнем с первой части задания.

а) Чтобы доказать, что переменная \(x_n = 5 - n\) является неограниченной, мы должны использовать определение неограниченной переменной на языке "M-N". Давайте вспомним, что это определение гласит.

Определение неограниченной переменной (на языке "M-N"): Последовательность чисел \(x_n\) считается неограниченной, если для любого числа \(M\) существует такое число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется \(x_n > M\).

Теперь, чтобы доказать, что наша переменная \(x_n = 5 - n\) является неограниченной, нам нужно показать, что для любого числа \(M\) существует такое число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется \(x_n > M\).

Допустим, мы выбираем произвольное число \(M\). Тогда мы должны найти такое число \(N\), чтобы для всех \(n > N\) выполнялось \(x_n > M\).

Рассмотрим наше выражение для \(x_n = 5 - n\). Если мы хотим, чтобы \(x_n > M\), то заменим \(x_n\) на \(M\) и решим уравнение:

\[5 - n > M\]

Теперь давайте решим это уравнение для \(n\):

\[n < 5 - M\]

Таким образом, мы получили неравенство \(n < 5 - M\). Заметим, что само неравенство всегда верно для \(n = 5 - M - 1\), где мы выбрали \(N = 5 - M - 1\).

Таким образом, если мы выберем любое число \(M\), мы всегда можем найти такое число \(N\), что для всех \(n > N\) выполняется \(x_n > M\).

Это означает, что переменная \(x_n = 5 - n\) является неограниченной согласно определению неограниченной переменной на языке "M-N".

Приступим к второй части задания.

б) Чтобы найти значение \(\lim_{n\to\infty} x_n\) при \(n\) стремящемся к бесконечности, мы можем просто заменить \(n\) на бесконечность в нашем выражении \(x_n = 5 - n\).

Так как \(n\) стремится к бесконечности, то \(5 - n\) будет стремиться к \(-\infty\). Таким образом, значение \(\lim_{n\to\infty} x_n\) равно \(-\infty\).

Надеюсь, это понятно и полезно для школьника! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.