А) Возможно ли доказать, что переменная xn=5-n является неограниченной, используя определение неограниченной переменной

Хорошо, давайте начнем с первой части задания.

а) Чтобы доказать, что переменная $x_n=5-n$ является неограниченной, мы должны использовать определение неограниченной переменной на языке "M-N". Давайте вспомним, что это определение гласит.

Определение неограниченной переменной (на языке "M-N"): Последовательность чисел $x_n$ считается неограниченной, если для любого числа $M$ существует такое число $N$, что для всех $n>N$ выполняется $x_n>M$.

Теперь, чтобы доказать, что наша переменная $x_n=5-n$ является неограниченной, нам нужно показать, что для любого числа $M$ существует такое число $N$, что для всех $n>N$ выполняется $x_n>M$.

Допустим, мы выбираем произвольное число $M$. Тогда мы должны найти такое число $N$, чтобы для всех $n>N$ выполнялось $x_n>M$.

Рассмотрим наше выражение для $x_n=5-n$. Если мы хотим, чтобы $x_n>M$, то заменим $x_n$ на $M$ и решим уравнение:

$$5-n>M$$

Теперь давайте решим это уравнение для $n$:

$$n<5-M$$

Таким образом, мы получили неравенство $n<5-M$. Заметим, что само неравенство всегда верно для $n=5-M-1$, где мы выбрали $N=5-M-1$.

Таким образом, если мы выберем любое число $M$, мы всегда можем найти такое число $N$, что для всех $n>N$ выполняется $x_n>M$.

Это означает, что переменная $x_n=5-n$ является неограниченной согласно определению неограниченной переменной на языке "M-N".

Приступим к второй части задания.

б) Чтобы найти значение $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ при $n$ стремящемся к бесконечности, мы можем просто заменить $n$ на бесконечность в нашем выражении $x_n=5-n$.

Так как $n$ стремится к бесконечности, то $5-n$ будет стремиться к $-\mathrm{\infty }$. Таким образом, значение $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ равно $-\mathrm{\infty }$.

Надеюсь, это понятно и полезно для школьника! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.