а) Продукты поступили в спортивный магазин в соотношении 3:2 для баскетбольных и футбольных мячей соответственно. Андрей приобрел 4 мяча. Напишите таблицу, отражающую количество купленных Андреем баскетбольных мячей. Подробно определите вероятности для каждого значения случайной величины.
б) Рассчитайте дисперсию для данной случайной величины.
б) Рассчитайте дисперсию для данной случайной величины.
Петровна
а) Для составления таблицы количества купленных Андреем баскетбольных мячей, нам нужно учесть соотношение 3:2. Общее количество мячей можно представить как сумму баскетбольных и футбольных мячей. Пусть x обозначает количество баскетбольных мячей, которые Андрей купил. Тогда количество футбольных мячей можно выразить как 4 - x, так как Андрей приобрел всего 4 мяча.
Таблица количества купленных Андреем баскетбольных мячей:
\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\text{Баскетбольные мячи (x)} & \text{Футбольные мячи (4 - x)} \\
\hline
0 & 4 \\
\hline
1 & 3 \\
\hline
2 & 2 \\
\hline
3 & 1 \\
\hline
4 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\]
Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения случайной величины - количества купленных баскетбольных мячей. Вероятность можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Количество благоприятных исходов для каждого значения x:
- x = 0: 1 исход (Андрей купил 0 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча)
- x = 1: 3 исхода (Андрей купил 1 баскетбольный мяч и 3 футбольных мяча)
- x = 2: 3 исхода
- x = 3: 1 исход
- x = 4: 1 исход
Общее число исходов равно количеству уникальных значений x, т.е. 5.
Теперь вычислим вероятности для каждого значения x:
- \(P(x = 0) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
- \(P(x = 1) = \frac{3}{5} = 0.6\) или 60%
- \(P(x = 2) = \frac{3}{5} = 0.6\) или 60%
- \(P(x = 3) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
- \(P(x = 4) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
б) Дисперсия случайной величины определяет, насколько значения случайной величины распределяются относительно их математического ожидания. Для рассчета дисперсии нам понадобится узнать математическое ожидание случайной величины, которое можно найти, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность, а затем сложив все произведения.
Вычислим математическое ожидание:
\(E(x) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.6 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 = 2\)
Далее, дисперсию можно вычислить по формуле:
\[
\text{Дисперсия} = E((x - E(x))^2) = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.6 + 3^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.2 - (E(x))^2
\]
Подставив значение математического ожидания, получим:
\[
\text{Дисперсия} = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.6 + 3^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.2 - 2^2 = 2.4 - 4 = -1.6
\]
Ответ: Дисперсия для данной случайной величины равна -1.6.
Таблица количества купленных Андреем баскетбольных мячей:
\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\text{Баскетбольные мячи (x)} & \text{Футбольные мячи (4 - x)} \\
\hline
0 & 4 \\
\hline
1 & 3 \\
\hline
2 & 2 \\
\hline
3 & 1 \\
\hline
4 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\]
Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения случайной величины - количества купленных баскетбольных мячей. Вероятность можно определить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Количество благоприятных исходов для каждого значения x:
- x = 0: 1 исход (Андрей купил 0 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча)
- x = 1: 3 исхода (Андрей купил 1 баскетбольный мяч и 3 футбольных мяча)
- x = 2: 3 исхода
- x = 3: 1 исход
- x = 4: 1 исход
Общее число исходов равно количеству уникальных значений x, т.е. 5.
Теперь вычислим вероятности для каждого значения x:
- \(P(x = 0) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
- \(P(x = 1) = \frac{3}{5} = 0.6\) или 60%
- \(P(x = 2) = \frac{3}{5} = 0.6\) или 60%
- \(P(x = 3) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
- \(P(x = 4) = \frac{1}{5} = 0.2\) или 20%
б) Дисперсия случайной величины определяет, насколько значения случайной величины распределяются относительно их математического ожидания. Для рассчета дисперсии нам понадобится узнать математическое ожидание случайной величины, которое можно найти, умножив каждое значение случайной величины на соответствующую вероятность, а затем сложив все произведения.
Вычислим математическое ожидание:
\(E(x) = 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.6 + 2 \cdot 0.6 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.2 = 2\)
Далее, дисперсию можно вычислить по формуле:
\[
\text{Дисперсия} = E((x - E(x))^2) = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.6 + 3^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.2 - (E(x))^2
\]
Подставив значение математического ожидания, получим:
\[
\text{Дисперсия} = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.6 + 2^2 \cdot 0.6 + 3^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.2 - 2^2 = 2.4 - 4 = -1.6
\]
Ответ: Дисперсия для данной случайной величины равна -1.6.
Знаешь ответ?