а) При каких значениях x функция y=2x^2 принимает следующие значения y: 1, -2, 1/2? б) При каких значениях x функция

Давайте решим эти задачи по порядку:

а) Мы должны найти значения х, при которых функция \(y = 2x^2\) будет равна 1, -2 и \(\frac{1}{2}\). Для этого нам нужно подставить данные значения для \(\text{y}\) и решить уравнение.

1) Чтобы найти значение \(x\), когда \(y = 1\), мы должны решить уравнение \(2x^2 = 1\). Раскрывая скобку и перенося все влево, мы получаем \(2x^2 - 1 = 0\). Затем мы должны решить это квадратное уравнение. Формула для решения такого уравнения выглядит как \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае \(a = 2\), \(b = 0\) и \(c = -1\). Подставляем эти значения в формулу и получаем:

\[x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\]

\[x = \frac{\pm \sqrt{8}}{4} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

2) Теперь рассмотрим случай, когда \(y = -2\). Подставим это значение в уравнение и решим:

\[2x^2 = -2\]
\[x^2 = -1\]

Так как квадрат от \(x\) не может быть отрицательным числом, нет решений в действительных числах. Значит, данное уравнение не имеет решений.

3) В случае, когда \(y = \frac{1}{2}\), мы получаем:

\[2x^2 = \frac{1}{2}\]
\[x^2 = \frac{1}{4}\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[x = \pm \frac{1}{2}\]

Итак, значения \(x\) при которых функция \(y = 2x^2\) принимает значения \(y = 1\), \(y = -2\) и \(y = \frac{1}{2}\) соответственно, равны:
для \(y = 1\): \(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
для \(y = -2\): не имеет решений
для \(y = \frac{1}{2}\): \(x = \pm \frac{1}{2}\)

б) Чтобы найти значения \(x\), при которых \(y = 2\), мы подставляем значение \(y\) в уравнение:

\[2x^2 = 2\]

Разделяя обе части уравнения на 2, получаем:

\[x^2 = 1\]

Решая это уравнение, видим, что

\[x = \pm 1\]

Таким образом, значения \(x\), при которых функция \(y = 2x^2\) равна 2, равны: \(x = \pm 1\).

в) Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \(y = 2x^2\) на отрезке \([-1;2]\), мы должны найти точки экстремума на этом отрезке. Так как данная функция является параболой с положительным коэффициентом перед \(x^2\), она будет иметь минимум в вершине параболы и будет направлена вверх.

Находим координаты вершины параболы с помощью формулы \(x = -\frac{b}{2a}\). В данной функции \(a = 2\) и \(b = 0\), поэтому \(x = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0\). Подставляем \(x = 0\) в функцию, чтобы найти \(y\) в вершине:

\[y = 2 \cdot 0^2 = 0\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((0, 0)\).

Далее, для нахождения максимального и минимального значения на отрезке \([-1; 2]\) мы проверим значения функции на границах отрезка и в вершине.

Подставляем \(x = -1\):

\[y = 2 \cdot (-1)^2 = 2\]

Подставляем \(x = 2\):

\[y = 2 \cdot 2^2 = 8\]

Итак, на отрезке \([-1; 2]\) максимальное значение функции равно 8, а минимальное значение - 0.

г) Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y = 2x^2\) возрастает и убывает, мы будем анализировать производную функции. Производная показывает скорость изменения функции и помогает определить точки, где она возрастает или убывает.

Берем производную \(y"\) от \(y = 2x^2\) по \(x\) с использованием правила дифференцирования для степеней:

\[y" = \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x\]

Теперь мы можем проанализировать знак производной \(y"\) и определить интервалы возрастания и убывания.

Если \(y" > 0\), то функция возрастает, а если \(y" < 0\), то функция убывает.

Решаем неравенство \(4x > 0\):

\[x > 0\]

Таким образом, функция \(y = 2x^2\) возрастает на интервале \(x > 0\).

Rешаем неравенство \(4x < 0\):

\[x < 0\]

Функция \(y = 2x^2\) убывает на интервале \(x < 0\).

Итак, интервалы, на которых функция \(y = 2x^2\) возрастает - \(x > 0\), и убывает - \(x < 0\).