A) Найдите первые три слагаемых в раскрытии скобок в порядке возрастания степени a и запишите коэффициент при a

Обратимся к задаче:

A) Найдите первые три слагаемых в раскрытии скобок в порядке возрастания степени \(a\) и запишите коэффициент при \(a\):

1) \((2 - a)^6\)

Для раскрытия скобок мы можем использовать бином Ньютона, который позволяет нам вычислить коэффициенты при каждом слагаемом. Формула для нахождения коэффициента при \(a\) имеет вид:
\[\binom{n}{k} \cdot a^k \cdot (b-a)^{n-k}\]
где \(n\) - степень скобки, \(k\) - номер слагаемого, \(a\) - переменная, \(b\) - значение без переменной.

Раскроем скобки:
\((2 - a)^6 = \binom{6}{0} \cdot 2^6 \cdot (-a)^0 + \binom{6}{1} \cdot 2^5 \cdot (-a)^1 + \binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot (-a)^2 + ... + \binom{6}{6} \cdot 2^0 \cdot (-a)^6\)

Таким образом, первые три слагаемых будут:
\(\binom{6}{0} \cdot 2^6 \cdot (-a)^0\), \(\binom{6}{1} \cdot 2^5 \cdot (-a)^1\) и \(\binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot (-a)^2\).

Распишем каждое слагаемое:

\(\binom{6}{0} \cdot 2^6 \cdot (-a)^0 = 1 \cdot 64 \cdot 1 = 64\)

\(\binom{6}{1} \cdot 2^5 \cdot (-a)^1 = 6 \cdot 32 \cdot -a = -192a\)

\(\binom{6}{2} \cdot 2^4 \cdot (-a)^2 = 15 \cdot 16 \cdot a^2 = 240a^2\)

Таким образом, первые три слагаемых в раскрытии скобок \((2 - a)^6\) в порядке возрастания степени \(a\) будут:
\(64\), \(-192a\) и \(240a^2\).

2) \((3 + 2a)^6\)

Аналогично раскроем скобки, используя бином Ньютона:

\((3 + 2a)^6 = \binom{6}{0} \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 + \binom{6}{1} \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 + \binom{6}{2} \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 + ... + \binom{6}{6} \cdot 3^0 \cdot (2a)^6\)

Первые три слагаемых будут:
\(\binom{6}{0} \cdot 3^6 \cdot (2a)^0\), \(\binom{6}{1} \cdot 3^5 \cdot (2a)^1\) и \(\binom{6}{2} \cdot 3^4 \cdot (2a)^2\).

Выполним вычисления:

\(\binom{6}{0} \cdot 3^6 \cdot (2a)^0 = 1 \cdot 729 \cdot 1 = 729\)

\(\binom{6}{1} \cdot 3^5 \cdot (2a)^1 = 6 \cdot 243 \cdot 2a = 2916a\)

\(\binom{6}{2} \cdot 3^4 \cdot (2a)^2 = 15 \cdot 81 \cdot (2a)^2 = 3240a^2\)

Таким образом, первые три слагаемых в раскрытии скобок \((3 + 2a)^6\) в порядке возрастания степени \(a\) будут:
\(729\), \(2916a\) и \(3240a^2\).

B) Используя результаты предыдущих вычислений, найдите коэффициент при \(a\) в раскрытии скобок \((2 - a)(3 + 2a)\).

Для нахождения коэффициента при \(a\) в произведении двух выражений, мы должны перемножить соответствующие слагаемые и сложить их.

Перемножим первый слагаемый из первой скобки \((2 - a)\) с каждым слагаемым из второй скобки \((3 + 2a)\) и сложим результаты:

\((2 - a) \cdot 729 = 1458 - 729a\)

\((2 - a) \cdot (2916a) = 5832a - 2916a^2\)

\((2 - a) \cdot (3240a^2) = 6480a^2 - 3240a^3\)

Теперь сложим полученные результаты:

\((1458 - 729a) + (5832a - 2916a^2) + (6480a^2 - 3240a^3)\)

Упростим выражение и сгруппируем слагаемые:

\(1458 + 5832a + 6480a^2 - 729a - 2916a^2 - 3240a^3\)

\(1458 + 5103a + 3564a^2 - 3240a^3\)

Таким образом, коэффициент при \(a\) в раскрытии скобок \((2 - a)(3 + 2a)\) равен \(5103\).