A) Найдите первые три слагаемых в раскрытии скобок в порядке возрастания степени a и запишите коэффициент при a

Обратимся к задаче:

A) Найдите первые три слагаемых в раскрытии скобок в порядке возрастания степени $a$ и запишите коэффициент при $a$:

1) $(2-a{)}^6$

Для раскрытия скобок мы можем использовать бином Ньютона, который позволяет нам вычислить коэффициенты при каждом слагаемом. Формула для нахождения коэффициента при $a$ имеет вид:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot a^k\cdot (b-a{)}^{n-k}$$
где $n$ - степень скобки, $k$ - номер слагаемого, $a$ - переменная, $b$ - значение без переменной.

Раскроем скобки:
$(2-a{)}^6=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 2^6\cdot (-a{)}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 2^5\cdot (-a{)}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 2^4\cdot (-a{)}^2+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})\cdot 2^0\cdot (-a{)}^6$

Таким образом, первые три слагаемых будут:
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 2^6\cdot (-a{)}^0$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 2^5\cdot (-a{)}^1$ и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 2^4\cdot (-a{)}^2$.

Распишем каждое слагаемое:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 2^6\cdot (-a{)}^0=1\cdot 64\cdot 1=64$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 2^5\cdot (-a{)}^1=6\cdot 32\cdot -a=-192a$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 2^4\cdot (-a{)}^2=15\cdot 16\cdot a^2=240a^2$

Таким образом, первые три слагаемых в раскрытии скобок $(2-a{)}^6$ в порядке возрастания степени $a$ будут:
$64$, $-192a$ и $240a^2$.

2) $(3+2a{)}^6$

Аналогично раскроем скобки, используя бином Ньютона:

$(3+2a{)}^6=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 3^6\cdot (2a{)}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 3^5\cdot (2a{)}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 3^4\cdot (2a{)}^2+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})\cdot 3^0\cdot (2a{)}^6$

Первые три слагаемых будут:
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 3^6\cdot (2a{)}^0$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 3^5\cdot (2a{)}^1$ и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 3^4\cdot (2a{)}^2$.

Выполним вычисления:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0})\cdot 3^6\cdot (2a{)}^0=1\cdot 729\cdot 1=729$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1})\cdot 3^5\cdot (2a{)}^1=6\cdot 243\cdot 2a=2916a$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})\cdot 3^4\cdot (2a{)}^2=15\cdot 81\cdot (2a{)}^2=3240a^2$

Таким образом, первые три слагаемых в раскрытии скобок $(3+2a{)}^6$ в порядке возрастания степени $a$ будут:
$729$, $2916a$ и $3240a^2$.

B) Используя результаты предыдущих вычислений, найдите коэффициент при $a$ в раскрытии скобок $(2-a)(3+2a)$.

Для нахождения коэффициента при $a$ в произведении двух выражений, мы должны перемножить соответствующие слагаемые и сложить их.

Перемножим первый слагаемый из первой скобки $(2-a)$ с каждым слагаемым из второй скобки $(3+2a)$ и сложим результаты:

$(2-a)\cdot 729=1458-729a$

$(2-a)\cdot (2916a)=5832a-2916a^2$

$(2-a)\cdot (3240a^2)=6480a^2-3240a^3$

Теперь сложим полученные результаты:

$(1458-729a)+(5832a-2916a^2)+(6480a^2-3240a^3)$

Упростим выражение и сгруппируем слагаемые:

$1458+5832a+6480a^2-729a-2916a^2-3240a^3$

$1458+5103a+3564a^2-3240a^3$

Таким образом, коэффициент при $a$ в раскрытии скобок $(2-a)(3+2a)$ равен $5103$.