а) Напишите выражение как сумму синусов 20 градусов и 40 градусов. б) Представьте выражение как разность синуса

а) Чтобы записать выражение как сумму синусов 20 градусов и 40 градусов, мы можем использовать формулу синуса суммы двух углов. Формула такая:

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. Пусть \(\alpha\) = 20 градусов и \(\beta\) = 40 градусов. Тогда мы можем записать:

\[\sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin(20^\circ)\cos(40^\circ) + \cos(20^\circ)\sin(40^\circ)\]

Теперь вычислим значения синусов и косинусов 20 градусов и 40 градусов с помощью калькулятора. Подставим значения в формулу:

\[\sin(20^\circ + 40^\circ) = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})\]

Упростим выражение:

\[\sin(20^\circ + 40^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, выражение как сумма синусов 20 градусов и 40 градусов равно \(\frac{3 + \sqrt{3}}{4}\).

б) Чтобы представить выражение как разность синуса 55 градусов и синуса -65 градусов, мы можем использовать формулу синуса разности двух углов. Формула такая:

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. Пусть \(\alpha\) = 55 градусов и \(\beta\) = -65 градусов. Тогда мы можем записать:

\[\sin(55^\circ - (-65^\circ)) = \sin(55^\circ)\cos(-65^\circ) - \cos(55^\circ)\sin(-65^\circ)\]

Заметим, что \(\cos(-65^\circ) = \cos(65^\circ)\) и \(\sin(-65^\circ) = -\sin(65^\circ)\). Подставим значения в формулу:

\[\sin(55^\circ - (-65^\circ)) = \sin(55^\circ)\cos(65^\circ) - \cos(55^\circ)(-\sin(65^\circ))\]

Упростим выражение:

\[\sin(55^\circ - (-65^\circ)) = \sin(55^\circ)\cos(65^\circ) + \cos(55^\circ)\sin(65^\circ)\]

Таким образом, выражение как разность синуса 55 градусов и синуса -65 градусов равно \(\sin(55^\circ + 65^\circ)\).

в) Чтобы записать выражение как сумму косинуса 12 градусов и синуса 42 градусов, мы можем использовать формулу синуса и косинуса суммы двух углов. Формулы такие:

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь применим эти формулы к нашей задаче. Пусть \(\alpha\) = 12 градусов и \(\beta\) = 42 градусов. Тогда мы можем записать:

\[\sin(12^\circ + 42^\circ) = \sin(12^\circ)\cos(42^\circ) + \cos(12^\circ)\sin(42^\circ)\]
\[\cos(12^\circ + 42^\circ) = \cos(12^\circ)\cos(42^\circ) - \sin(12^\circ)\sin(42^\circ)\]

Вычислим значения синусов и косинусов 12 градусов и 42 градусов с помощью калькулятора. Подставим значения в формулы:

\[\sin(12^\circ + 42^\circ) = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) + (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})\]
\[\cos(12^\circ + 42^\circ) = (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) - (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})\]

Упростим выражения:

\[\sin(12^\circ + 42^\circ) = \frac{4\sqrt{6}\sqrt{2}}{16} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\cos(12^\circ + 42^\circ) = \frac{4\sqrt{6}\sqrt{2}}{16} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, выражение как сумма косинуса 12 градусов и синуса 42 градусов равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

д) Чтобы представить выражение как разность синуса 255 градусов и синуса 165 градусов, мы можем использовать формулу синуса разности двух углов. Формула такая:

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. Пусть \(\alpha\) = 255 градусов и \(\beta\) = 165 градусов. Тогда мы можем записать:

\[\sin(255^\circ - 165^\circ) = \sin(255^\circ)\cos(165^\circ) - \cos(255^\circ)\sin(165^\circ)\]

Вычислим значения синусов и косинусов 255 градусов и 165 градусов с помощью калькулятора. Подставим значения в формулу:

\[\sin(255^\circ - 165^\circ) = (-\frac{\sqrt{6}}{4})(-\frac{\sqrt{2}}{4}) - (\frac{\sqrt{6}}{4})(\frac{\sqrt{2}}{4})\]

Упростим выражение:

\[\sin(255^\circ - 165^\circ) = -\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{16} = -\frac{\sqrt{6}}{4}\]

Таким образом, выражение как разность синуса 255 градусов и синуса 165 градусов равно \(-\frac{\sqrt{6}}{4}\).

е) Чтобы записать выражение как сумму косинуса 315 градусов и косинуса 225 градусов, мы можем использовать формулу косинуса суммы двух углов. Формула такая:

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\]

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. Пусть \(\alpha\) = 315 градусов и \(\beta\) = 225 градусов. Тогда мы можем записать:

\[\cos(315^\circ + 225^\circ) = \cos(315^\circ)\cos(225^\circ) - \sin(315^\circ)\sin(225^\circ)\]

Вычислим значения синусов и косинусов 315 градусов и 225 градусов с помощью калькулятора. Подставим значения в формулу:

\[\cos(315^\circ + 225^\circ) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})\]

Упростим выражение:

\[\cos(315^\circ + 225^\circ) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\]

Таким образом, выражение как сумма косинуса 315 градусов и косинуса 225 градусов равно 0.