а) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2 и А3. б) Переформулируйте уравнение прямой, проходящей

а) Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2 и А3, мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде: \[Ax + By + Cz + D = 0\]. Подставим координаты точек А1, А2 и А3 в это уравнение и получим систему уравнений. Затем найдем коэффициенты A, B, C и D, решив систему уравнений. Решение этой системы позволит нам получить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки А1, А2 и А3.

б) Для переформулирования уравнения прямой, проходящей через точки А1 и А2, мы можем использовать точку-направление формулы прямой: \[y - y_1 = k(x - x_1)\]. Здесь (x_1, y_1) - координаты точки А1, а k - угловой коэффициент прямой, который можно вычислить, разделив разность y-координат на разность x-координат между точками А1 и А2.

в) Чтобы изменить уравнение прямой А4М так, чтобы она была перпендикулярна плоскости А1А2А3, мы можем использовать свойство перпендикулярности, которое гласит, что угловой коэффициент перпендикулярных прямых является отрицанием обратного углового коэффициента. Другими словами, если исходное уравнение прямой имеет угловой коэффициент k, то уравнение перпендикулярной прямой будет иметь угловой коэффициент -1/k.

г) Чтобы переформулировать уравнение прямой А3N так, чтобы она была параллельна прямой А1А2, мы можем использовать тот факт, что параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Поэтому уравнение прямой А3N будет иметь тот же угловой коэффициент, что и уравнение прямой А1А2.

д) Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной прямой А1А2, мы можем использовать уравнение плоскости в общем виде с учетом условия перпендикулярности. Угловой коэффициент прямой А1А2 будет являться одной из переменных в уравнении плоскости.

е) Задача о нахождении синуса угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3 может быть переформулирована следующим образом: Найдите синус угла между направляющим вектором прямой А1А4 и нормальным вектором плоскости А1А2А3. Для этого можно использовать формулу \(\sin(\theta) = \frac{{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}}{{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}}\), где \(\mathbf{a}\) - направляющий вектор прямой А1А4, \(\mathbf{b}\) - нормальный вектор плоскости А1А2А3.

ж) Задача о нахождении косинуса угла между плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3 может быть переформулирована следующим образом: Найдите косинус угла между нормальными векторами плоскостей Оху и А1А2А3. Для этого можно использовать формулу \(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}}\), где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - нормальные векторы плоскостей Оху и А1А2А3 соответственно.