а) Какой куб двучлена можно представить в виде многочлена x³ - 3x² + 3x - 1? б) Какой куб двучлена можно представить

Задача а)

Для того чтобы найти куб двучлена, равный многочлену \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\), нам нужно разложить каждый из коэффициентов этого многочлена по формуле куба двучлена.

Куб двучлена имеет общий вид \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\), где \(a\) и \(b\) - это два слогаемых множителя, а знак минус используется перед последним слагаемым.

Теперь, чтобы найти \(a\) и \(b\), мы сопоставляем коэффициенты исходного многочлена и формулы куба двучлена:

\(a^3\) соответствует \(x^3\), значит, \(a = x\)

\(-3a^2b\) соответствует \(-3x^2\), значит, \(-3ab^2 = -3x^2\). Делим обе части на -3, получаем \(ab^2 = x^2\)

\(3ab^2\) соответствует \(3x\), значит, \(3ab^2 = 3x\). Подставляем \(ab^2 = x^2\), получаем \(3x^2 = 3x\), или, сокращая на \(3x\), \(x = 1\)

\(-b^3\) соответствует \(-1\), значит, \(b^3 = 1\). Находим значение \(b\) взятием кубического корня из 1: \(b = 1\)

Таким образом, куб двучлена, представленный в виде многочлена \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\), равен \((x - 1)^3\).

Ответ: куб двучлена можно представить в виде многочлена \((x - 1)^3\).

Задача б)

Для того чтобы найти куб двучлена, равный многочлену \(27z^3 + 54z^2r^2 + 36zr^4\), мы используем аналогичный подход.

Сопоставляем коэффициенты исходного многочлена и формулы куба двучлена:

\(a^3\) соответствует \(27z^3\), значит, \(a = 3z\)

\(-3a^2b\) соответствует \(54z^2r^2\), значит, \(-3ab^2 = 54z^2r^2\). Делим обе части на -3, получаем \(ab^2 = -18z^2r^2\)

\(3ab^2\) соответствует \(36zr^4\), значит, \(3ab^2 = 36zr^4\). Подставляем \(ab^2 = -18z^2r^2\), получаем \(-18z^2r^2 = 36zr^4\). Делим обе части на -18zr^2, получаем \(r^2 = -2zr^2\).

Последнее уравнение не имеет единственного решения, так как \(r\) может принимать различные значения. Это означает, что куб двучлена, представленный в виде многочлена \(27z^3 + 54z^2r^2 + 36zr^4\), зависит от значения переменной \(r\) и не имеет единственного решения.

Ответ: куб двучлена можно представить в виде многочлена, зависящего от переменной \(r\). \((3z - br)^3\)