1) Упростите дробь: 6x / 2x²-6x = 2) Упростите дробь: 12x+12y / 36x²-36y² = 1) Выполните операции: 3 / 14х-14у

Шаг 1: Упрощение дроби \( \frac{6x}{2x^2 - 6x} \):

Для упрощения этой дроби, давайте начнем с факторизации знаменателя \( 2x^2 - 6x \). Для этого мы можем вынести общий множитель из каждого члена:

\( 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) \).

Теперь заметим, что у числителя \( 6x \) и знаменателя \( 2x(x - 3) \) есть общий множитель \( 2x \). Мы можем сократить его:

\( \frac{6x}{2x^2 - 6x} = \frac{2x \cdot 3}{2x(x - 3)} = \frac{3}{x - 3} \).

Ответ: \( \frac{3}{x - 3} \).

Шаг 2: Упрощение дроби \( \frac{12x + 12y}{36x^2 - 36y^2} \):

В этой дроби нам нужно упростить числитель \( 12x + 12y \) и знаменатель \( 36x^2 - 36y^2 \).

Сначала заметим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель \( 12 \). Мы можем его сократить:

\( 12x + 12y = 12(x + y) \),

\( 36x^2 - 36y^2 = 36(x^2 - y^2) \).

Теперь заметим, что выражение \( x^2 - y^2 \) является разностью квадратов и может быть факторизовано:

\( x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \).

Теперь мы можем сократить общий множитель \( x + y \):

\( \frac{12(x + y)}{36(x^2 - y^2)} = \frac{12}{36(x - y)} \).

Заметим, что числитель и знаменатель можно дополнительно сократить на 12:

\( \frac{12}{36(x - y)} = \frac{1}{3(x - y)} \).

Ответ: \( \frac{1}{3(x - y)} \).

Шаг 3: Выполнение операций \( \frac{3}{14x - 14y} - \frac{2}{21x - 21y} \):

Для выполнения этой операции, нам необходимо найти общий знаменатель у этих дробей. Общий знаменатель будет равен наименьшему общему кратному знаменателей 14 и 21, то есть 42.

Итак, приведем обе дроби к общему знаменателю:

\( \frac{3}{14x - 14y} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3(x - y)} = \frac{9}{42(x - y)} \),

\( \frac{2}{21x - 21y} = \frac{2 \cdot 2}{21 \cdot 2(x - y)} = \frac{4}{42(x - y)} \).

Теперь вычитаем одну дробь из другой:

\( \frac{9}{42(x - y)} - \frac{4}{42(x - y)} = \frac{9 - 4}{42(x - y)} = \frac{5}{42(x - y)} \).

Ответ: \( \frac{5}{42(x - y)} \).

Шаг 4: Выполнение операций \( \frac{2 - 3y}{y^2 - 9} + \frac{5 - 2y}{y - 3} \):

Для выполнения этой операции, нам необходимо найти общий знаменатель у этих дробей. Общий знаменатель будет равен наименьшему общему кратному знаменателей \( y^2 - 9 \) и \( y - 3 \). Мы можем заметить, что \( y^2 - 9 \) является разностью квадратов и может быть факторизовано:

\( y^2 - 9 = (y + 3)(y - 3) \).

Итак, приведем обе дроби к общему знаменателю:

\( \frac{2 - 3y}{y^2 - 9} = \frac{2 - 3y}{(y + 3)(y - 3)} \),

\( \frac{5 - 2y}{y - 3} = \frac{5 - 2y}{1(y - 3)} \).

Теперь сложим эти две дроби:

\( \frac{2 - 3y}{(y + 3)(y - 3)} + \frac{5 - 2y}{1(y - 3)} \).

Здесь мы должны учесть, что \( y - 3 \) и \( y + 3 \) являются сопряженными разностями, поэтому можно сократить сопряженные члены:

\( \frac{2 - 3y}{(y + 3)(y - 3)} + \frac{5 - 2y}{1(y - 3)} = \frac{(2 - 3y) + (5 - 2y)}{(y + 3)(y - 3)} \).

Теперь сложим числители и оставим знаменатель без изменений:

\( \frac{(2 - 3y) + (5 - 2y)}{(y + 3)(y - 3)} = \frac{7 - 5y}{(y + 3)(y - 3)} \).

Ответ: \( \frac{7 - 5y}{(y + 3)(y - 3)} \).

Шаг 5: Нахождение значения выражения \( \frac{x^2 - y^2}{5x} : \frac{x^2 - 2xy + y^2}{25x} \) при \( x = 2 \) и \( y = 1 \):

Чтобы найти значение этого выражения, подставим заданные значения \( x \) и \( y \) вместо переменных \( x \) и \( y \) в выражении и выполним соответствующие математические операции:

\( \frac{x^2 - y^2}{5x} : \frac{x^2 - 2xy + y^2}{25x} = \frac{2^2 - 1^2}{5 \cdot 2} : \frac{2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^2}{25 \cdot 2} \).

Упростим числители и знаменатели:

\( \frac{2^2 - 1^2}{5 \cdot 2} : \frac{2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^2}{25 \cdot 2} = \frac{3}{10} : \frac{1}{50} \).

Чтобы разделить одну дробь на другую, мы можем найти обратную величину второй дроби и затем перемножить две дроби:

\( \frac{3}{10} : \frac{1}{50} = \frac{3}{10} \cdot \frac{50}{1} \).

Теперь перемножим числители и знаменатели:

\( \frac{3}{10} \cdot \frac{50}{1} = \frac{3 \cdot 50}{10 \cdot 1} = \frac{150}{10} \).

И наконец, упростим эту дробь:

\( \frac{150}{10} = 15 \).

Ответ: \( 15 \).