а) Какова длина бокового ребра в правильной треугольной пирамиде с основанием 6 см и высотой 8 см? б) Какова площадь

Давайте решим задачу поочередно:

a) Для нахождения длины бокового ребра правильной треугольной пирамиды, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Но перед этим, давайте разберемся со структурой самой пирамиды.

Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника. Это означает, что все его стороны равны друг другу. В данной задаче основание имеет длину 6 см.

Кроме того, пирамида имеет высоту, которая перпендикулярна основанию и проходит через его центр. Данная задача указывает, что высота пирамиды равна 8 см.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины бокового ребра. В этой пирамиде боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и половина длины основания являются катетами.

Теорема Пифагора гласит:

$$a^2+b^2=c^2$$

где $a$ и $b$ - длины катетов, а $c$ - длина гипотенузы (бокового ребра).

В нашем случае:

$a=\frac{6}{2}=3$ (половина длины основания),
$b=8$ (высота пирамиды).

Подставляя значения в формулу, получаем:

$$c^2=3^2+8^2=9+64=73$$

Для нахождения $c$ необходимо извлечь квадратный корень:

$$c=\sqrt{73}$$

Таким образом, длина бокового ребра в правильной треугольной пирамиде составляет $\sqrt{73}$ см.

б) Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды представляет собой боковые поверхности всех треугольников, образующих пирамиду. В правильной треугольной пирамиде каждая такая поверхность является равносторонним треугольником.

Площадь треугольника можно вычислить с использованием формулы Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p$ - полупериметр треугольника, а $a$, $b$, $c$ - длины сторон треугольника.

В нашем случае, каждая сторона треугольника равна длине бокового ребра пирамиды ($\sqrt{73}$ см), поэтому $a=b=c=\sqrt{73}$ см.

Полупериметр $p$ можно найти, сложив длины всех сторон треугольника и разделив на 2. Так как все стороны треугольника равны, $p$ будет равно:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{73}+\sqrt{73}+\sqrt{73}}{2}=\frac{3\sqrt{73}}{2}$$

Теперь, подставив значения в формулу площади треугольника, получаем:

$$S=\sqrt{\frac{3\sqrt{73}}{2}(\frac{3\sqrt{73}}{2}-\sqrt{73})(\frac{3\sqrt{73}}{2}-\sqrt{73})(\frac{3\sqrt{73}}{2}-\sqrt{73})}$$

Упростив выражение, получаем:

$$S=\sqrt{\frac{3\sqrt{73}}{2}\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}\cdot \frac{\sqrt{73}}{2}}=\sqrt{\frac{3\cdot {73}^2}{16}}=\sqrt{\frac{3\cdot 5329}{16}}=\sqrt{\frac{15987}{16}}$$

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды составляет $\sqrt{\frac{15987}{16}}$ квадратных сантиметров.