а) Какова длина бокового ребра в правильной треугольной пирамиде с основанием 6 см и высотой 8 см? б) Какова площадь

Давайте решим задачу поочередно:

a) Для нахождения длины бокового ребра правильной треугольной пирамиды, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Но перед этим, давайте разберемся со структурой самой пирамиды.

Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника. Это означает, что все его стороны равны друг другу. В данной задаче основание имеет длину 6 см.

Кроме того, пирамида имеет высоту, которая перпендикулярна основанию и проходит через его центр. Данная задача указывает, что высота пирамиды равна 8 см.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины бокового ребра. В этой пирамиде боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и половина длины основания являются катетами.

Теорема Пифагора гласит:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(c\) - длина гипотенузы (бокового ребра).

В нашем случае:

\(a = \frac{6}{2} = 3\) (половина длины основания),
\(b = 8\) (высота пирамиды).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
c^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73
\]

Для нахождения \(c\) необходимо извлечь квадратный корень:

\[
c = \sqrt{73}
\]

Таким образом, длина бокового ребра в правильной треугольной пирамиде составляет \(\sqrt{73}\) см.

б) Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности данной пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды представляет собой боковые поверхности всех треугольников, образующих пирамиду. В правильной треугольной пирамиде каждая такая поверхность является равносторонним треугольником.

Площадь треугольника можно вычислить с использованием формулы Герона:

\[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, каждая сторона треугольника равна длине бокового ребра пирамиды (\(\sqrt{73}\) см), поэтому \(a = b = c = \sqrt{73}\) см.

Полупериметр \(p\) можно найти, сложив длины всех сторон треугольника и разделив на 2. Так как все стороны треугольника равны, \(p\) будет равно:

\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{\sqrt{73} + \sqrt{73} + \sqrt{73}}{2} = \frac{3\sqrt{73}}{2}
\]

Теперь, подставив значения в формулу площади треугольника, получаем:

\[
S = \sqrt{\frac{3\sqrt{73}}{2} \left(\frac{3\sqrt{73}}{2} - \sqrt{73}\right) \left(\frac{3\sqrt{73}}{2} - \sqrt{73}\right) \left(\frac{3\sqrt{73}}{2} - \sqrt{73}\right)}
\]

Упростив выражение, получаем:

\[
S = \sqrt{\frac{3\sqrt{73}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} \cdot \frac{\sqrt{73}}{2}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 73^2}{16}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5329}{16}} = \sqrt{\frac{15987}{16}}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности данной пирамиды составляет \(\sqrt{\frac{15987}{16}}\) квадратных сантиметров.