Каково значение меньшего основания трапеции, если известно, что средняя линия MN равна 42 см, и прямая, проведенная

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства трапеции. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Обозначим меньшее основание трапеции через \(a\), а большее основание - через \(b\).

Шаг 2: Поскольку средняя линия трапеции \(MN\) равна 42 см, то значит её длина равна полусумме длин оснований. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{{a + b}}{2} = 42\)

Шаг 3: Также известно, что прямая, проведенная из точки \(M\) параллельно боковой стороне \(CD\), пересекает основание трапеции в точке \(F\), которая делит его в отношении 3:7. Это означает, что отношение длин отрезков \(AF\) к \(FB\) равно 3:7. Можно записать следующее уравнение:

\(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{3}{7}\)

Шаг 4: Определим отношения длин отрезков \(AF\) и \(FB\). Пусть длина отрезка \(AF\) равна \(3x\), тогда длина отрезка \(FB\) будет равна \(7x\).

Шаг 5: Теперь воспользуемся подобными треугольниками. Так как треугольники \(AMF\) и \(BFC\) подобны, то отношение длин их сторон должно быть одинаковым. Мы знаем, что соотношение длин сторон треугольников равно \(\frac{{AM}}{{BF}} = \frac{{AF}}{{FC}}\).

Шаг 6: Подставим известные значения в уравнение:

\(\frac{a}{b} = \frac{{3x}}{{7x}}\)

Шаг 7: Упростим уравнение:

\(\frac{a}{b} = \frac{3}{7}\)

Шаг 8: Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными: \(\frac{{a + b}}{2} = 42\) и \(\frac{a}{b} = \frac{3}{7}\). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти \(a\) и \(b\).

Шаг 9: Если мы умножим оба выражения в уравнении \(\frac{a}{b} = \frac{3}{7}\) на \(b\), то получим:

\(a = \frac{3}{7}b\)

Шаг 10: Подставим это значение \(a\) в первое уравнение:

\(\frac{{\frac{3}{7}b + b}}{2} = 42\)

Шаг 11: Упростим уравнение:

\(\frac{{\frac{10}{7}b}}{2} = 42\)

\(\frac{5}{7}b = 42\)

Шаг 12: Решим полученное уравнение:

\(5b = 294\)

\(b = \frac{294}{5}\)

\(b = 58.8\)

Таким образом, большее основание трапеции равно 58.8 см.

Шаг 13: Теперь найдем значение меньшего основания, используя найденное значение \(b\):

\(a = \frac{3}{7}b\)

\(a = \frac{3}{7} \cdot 58.8\)

\(a = 25.2\)

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 25.2 см.

Итак, ответ: значение меньшего основания трапеции равно 25.2 см, а значение большего основания - 58.8 см.