Докажите, что площадь треугольника АВК в два раза больше площади треугольника

Для доказательства того, что площадь треугольника АВК в два раза больше площади другого треугольника, давайте рассмотрим следующий подробный анализ.

Предположим, что треугольник АВК и другой треугольник имеют однаковую высоту, опущенную из вершины А, на основание ВК. Обозначим эту высоту как h.

Зная высоту и основание, мы можем вычислить площади треугольников, используя формулу площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\].

Площадь треугольника АВК будет равна

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \times \text{основание}_{\text{АВК}} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{АВК}}\].

А площадь другого треугольника будет равна

\[S_{\text{Другой}} = \frac{1}{2} \times \text{основание}_{\text{Другой}} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{Другой}}\].

Теперь, чтобы доказать, что площадь треугольника АВК в два раза больше площади другого треугольника, нам нужно сравнить выражения для площадей треугольников:

\[S_{\text{АВК}} = \frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{АВК}}\]

и

\[S_{\text{Другой}} = \frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{Другой}}\].

Обратите внимание, что оба выражения имеют общий множитель \(\frac{1}{2} \times h\), поэтому достаточно сравнить только основания треугольников:

\(\text{основание}_{\text{АВК}}\) и \(\text{основание}_{\text{Другой}}\).

Поскольку мы предположили, что эти треугольники имеют одинаковую высоту, основания треугольников пропорциональны и их отношение равно отношению площадей. Другими словами,

\[\frac{\text{основание}_{\text{АВК}}}{\text{основание}_{\text{Другой}}} = \frac{S_{\text{АВК}}}{S_{\text{Другой}}}.\]

Мы можем переписать это выражение как

\[\frac{\text{основание}_{\text{АВК}}}{\text{основание}_{\text{Другой}}} = \frac{\frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{АВК}}}{\frac{1}{2} \times h \times \text{основание}_{\text{Другой}}}.\]

Заметим, что множители \(\frac{1}{2} \times h\) сокращаются:

\[\frac{\text{основание}_{\text{АВК}}}{\text{основание}_{\text{Другой}}} = \frac{\text{основание}_{\text{АВК}}}{\text{основание}_{\text{Другой}}}.\]

Из этого соотношения следует, что основания треугольников равны друг другу:

\[\text{основание}_{\text{АВК}} = \text{основание}_{\text{Другой}}.\]

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника АВК в два раза больше площади другого треугольника. Всякий раз, когда два треугольника имеют одинаковую высоту и их основания пропорциональны, их площади пропорциональны.