а) Каков первый член и разность арифметической прогрессии, если c3 = -15 и c4 = -12? б) Что такое сумма первых

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

а) Для нахождения первого члена и разности арифметической прогрессии, нам даны значения \(c_3 = -15\) и \(c_4 = -12\).

Мы знаем, что \(c_3 = a + 2d\) и \(c_4 = a + 3d\), где \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Теперь, давайте запишем уравнения по данной информации:

\(c_3 = a + 2d = -15\) ------ (1)
\(c_4 = a + 3d = -12\) ------ (2)

Мы можем решить эти два уравнения, чтобы найти \(a\) и \(d\).

Для начала, вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить \(a\):

\((a + 3d) - (a + 2d) = -12 - (-15)\)

Это даст нам:

\(a + 3d - a - 2d = -12 + 15\)

После сокращения мы получим:

\(d = 3\)

Теперь, зная значение разности \(d\), мы можем подставить его обратно в любое из уравнений (1) или (2), чтобы найти \(a\). Давайте используем уравнение (1):

\(a + 2d = -15\)

Подставляем \(d = 3\):

\(a + 2 \cdot 3 = -15\)

Вычисляем:

\(a + 6 = -15\)

Вычитаем 6 с обеих сторон:

\(a = -21\)

Таким образом, первый член прогрессии \(a\) равен -21, а разность прогрессии \(d\) равна 3.

б) Теперь нам нужно найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии.

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В нашем случае, \(n = 10\), \(a = -21\), \(d = 3\). Подставим эти значения в формулу:

\[S_{10} = \frac{10}{2}(2(-21) + (10-1) \cdot 3)\]

Раскрываем скобки:

\[S_{10} = 5(-42 + 9 \cdot 3)\]

Вычисляем умножение внутри скобок:

\[S_{10} = 5(-42 + 27)\]

Вычисляем сложение внутри скобок:

\[S_{10} = 5(-15)\]

Вычисляем умножение:

\[S_{10} = -75\]

Таким образом, сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна -75.