а) Какое неравенство выполняется для y, если y > -x? б) Что является решением неравенства 4x - 5y > 20? в) Найдите

Хорошо, давайте решим каждую задачу по порядку:

а) Дано неравенство \(y > -x\). В данной задаче нам требуется найти неравенство, которое выполняется для переменной \(y\).

Мы знаем, что данное неравенство означает, что \(y\) больше, чем \(-x\). То есть значения \(y\) будут находиться справа от прямой с углом наклона -1 и точкой пересечения с осью \(y\) равной 0.

Таким образом, ответом на эту задачу является неравенство \(y > -x\), где \(y\) находится в правой полуплоскости от прямой \(y = -x\).

б) Решим неравенство \(4x - 5y > 20\). Для этого давайте преобразуем его к эквивалентному виду:

\[4x - 5y > 20 \Rightarrow -5y > -4x + 20 \Rightarrow y < \frac{4}{5}x - 4\].

Итак, решением данного неравенства будет неравенство \(y < \frac{4}{5}x - 4\), где \(y\) находится внизу от прямой с углом наклона \(\frac{4}{5}\) и точкой пересечения с осью \(y\) равной -4.

в) Найдем все значения \(x\) и \(y\), при которых выполняется неравенство \(2xy \leq 11\).

Сначала приведем данное неравенство к эквивалентному виду:

\[2xy \leq 11 \Rightarrow y \leq \frac{11}{2x}\].

Итак, все значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие данному неравенству, находятся внизу от гиперболы \(y = \frac{11}{2x}\).

г) Неравенство \(x^2 + y^2 \geq 9\) представляет собой уравнение окружности радиуса 3 с центром в начале координат.

Таким образом, ответом на эту задачу являются значения \(x\) и \(y\), для которых точка \((x, y)\) находится на окружности радиуса 3 с центром в начале координат или внутри этой окружности.

д) Чтобы выразить неравенство \(x^2 - 6x + y^2 + 2y < 0\) в стандартной форме, нам нужно преобразовать его выражение.

\[x^2 - 6x + y^2 + 2y < 0 \Rightarrow (x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) < 0\].

Для преобразования выражения в квадратный трехчлен, мы должны добавить и вычесть половину коэффициента при \(x\) и \(y\) в каждом слагаемом:

\[(x^2 - 6x + (-6/2)^2) + (y^2 + 2y + (2/2)^2) - (-6/2)^2 - (2/2)^2 < 0\].

Упростим это выражение:

\[(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) - 9 - 1 < 0\].

\[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 10 < 0\].

Таким образом, для того чтобы выразить исходное неравенство в стандартной форме, нужно добавить (-10) на обе стороны:

\[(x - 3)^2 + (y + 1)^2 < 10\].