А) Какие значения x удовлетворяют уравнению 4cos2x+10cos(x+3π)+4=0? б) Какие значения x, принадлежащие промежутку

Перейдем к решению данного уравнения, используя пошаговый подход. Начнем с первой части задачи.

а) Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом: 4cos2x + 10cos(x + 3π) + 4 = 0

Давайте начнем с рассмотрения первого слагаемого: 4cos2x. Мы знаем, что cos2x = cos^2x - sin^2x. Подставим это значение в уравнение:

4(cos^2x - sin^2x) + 10cos(x + 3π) + 4 = 0

Теперь рассмотрим второе слагаемое: 10cos(x + 3π). Мы знаем, что cos(x + 3π) = cosx. Заменим это значение в уравнении:

4(cos^2x - sin^2x) + 10cosx + 4 = 0

Теперь наша задача - решить это уравнение. Для этого сгруппируем слагаемые с cosx и sin^2x:

4cos^2x - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

Заметим, что 4cos^2x - 4sin^2x можно представить как (2cosx - 2sinx)(2cosx + 2sinx). Подставим это значение:

(2cosx - 2sinx)(2cosx + 2sinx) + 10cosx + 4 = 0

Теперь раскроем скобки:

4cos^2x - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

4cos^2x + 4cosx - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

Упростим уравнение:

4cos^2x + 14cosx - 4sin^2x + 4 = 0

Заметим, что 4cos^2x - 4sin^2x = 4(cos^2x - sin^2x) = 4cos2x (используя формулу cos2x = cos^2x - sin^2x). Заменим это значение:

4cos2x + 14cosx + 4 = 0

Теперь полученное уравнение не содержит более сложных тригонометрических функций. Давайте решим его.

Пусть $t=2x$. Тогда уравнение примет вид: $4\cos t+14\cos \left(\frac{t}{2}\right)+4=0$.

Теперь заметим, что коэффициент при $\cos t$ равен 4, а при $\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ равен 14. Уравнение можно записать так:

$4\cos t=-14\cos \left(\frac{t}{2}\right)-4$

Поделим это уравнение на 2 и проллменяем формулу двойного угла ($\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$) для $\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:

$\cos t=-7{\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)-2$

Теперь раскроем скобки:

$\cos t=-7({\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right))-2$

Заметим, что ${\cos }^2\left(\frac{t}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)=1$. Заменим это значение:

$\cos t=-7-2$

$\cos t=-9$

Теперь нам нужно найти значения $\cos t=-9$ на интервале $[0,2\pi ]$. Однако, данное уравнение не имеет решений, так как косинус может быть только в диапазоне $[-1,1]$.

Таким образом, уравнение $4\cos 2x+10\cos (x+3\pi )+4=0$ не имеет решений.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нужно найти значения x, принадлежащие промежутку $[-3\pi /2,-\pi /2]$, которые являются корнями уравнения $4\cos 2x+10\cos (x+3\pi )+4=0$.

Мы только что доказали, что данное уравнение не имеет решений. Следовательно, на промежутке $[-3\pi /2,-\pi /2]$ нет корней этого уравнения.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам лучше понять решение данной задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.