А) Какие значения x удовлетворяют уравнению 4cos2x+10cos(x+3π)+4=0? б) Какие значения x, принадлежащие промежутку

Перейдем к решению данного уравнения, используя пошаговый подход. Начнем с первой части задачи.

а) Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом: 4cos2x + 10cos(x + 3π) + 4 = 0

Давайте начнем с рассмотрения первого слагаемого: 4cos2x. Мы знаем, что cos2x = cos^2x - sin^2x. Подставим это значение в уравнение:

4(cos^2x - sin^2x) + 10cos(x + 3π) + 4 = 0

Теперь рассмотрим второе слагаемое: 10cos(x + 3π). Мы знаем, что cos(x + 3π) = cosx. Заменим это значение в уравнении:

4(cos^2x - sin^2x) + 10cosx + 4 = 0

Теперь наша задача - решить это уравнение. Для этого сгруппируем слагаемые с cosx и sin^2x:

4cos^2x - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

Заметим, что 4cos^2x - 4sin^2x можно представить как (2cosx - 2sinx)(2cosx + 2sinx). Подставим это значение:

(2cosx - 2sinx)(2cosx + 2sinx) + 10cosx + 4 = 0

Теперь раскроем скобки:

4cos^2x - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

4cos^2x + 4cosx - 4sin^2x + 10cosx + 4 = 0

Упростим уравнение:

4cos^2x + 14cosx - 4sin^2x + 4 = 0

Заметим, что 4cos^2x - 4sin^2x = 4(cos^2x - sin^2x) = 4cos2x (используя формулу cos2x = cos^2x - sin^2x). Заменим это значение:

4cos2x + 14cosx + 4 = 0

Теперь полученное уравнение не содержит более сложных тригонометрических функций. Давайте решим его.

Пусть \( t = 2x \). Тогда уравнение примет вид: \( 4\cos t + 14\cos\left(\frac{t}{2}\right) + 4 = 0 \).

Теперь заметим, что коэффициент при \(\cos t\) равен 4, а при \(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\) равен 14. Уравнение можно записать так:

\( 4\cos t = -14\cos\left(\frac{t}{2}\right) - 4 \)

Поделим это уравнение на 2 и проллменяем формулу двойного угла (\( \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \)) для \(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\):

\( \cos t = -7\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) - 2 \)

Теперь раскроем скобки:

\( \cos t = -7\left(\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) - 2 \)

Заметим, что \(\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) = 1\). Заменим это значение:

\( \cos t = -7 - 2 \)

\( \cos t = -9 \)

Теперь нам нужно найти значения \(\cos t = -9\) на интервале \([0, 2\pi]\). Однако, данное уравнение не имеет решений, так как косинус может быть только в диапазоне \([-1, 1]\).

Таким образом, уравнение \(4\cos2x + 10\cos(x+3\pi) + 4 = 0\) не имеет решений.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нужно найти значения x, принадлежащие промежутку \([-3\pi/2, -\pi/2]\), которые являются корнями уравнения \(4\cos2x + 10\cos(x+3\pi) + 4 = 0\).

Мы только что доказали, что данное уравнение не имеет решений. Следовательно, на промежутке \([-3\pi/2, -\pi/2]\) нет корней этого уравнения.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам лучше понять решение данной задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.