А) Determine which equality is more accurate. B) Round the uncertain digits of the number, keeping the correct signs

A) Так как задача требует сравнить точность равенств, нам нужно сравнить их абсолютные ошибки. Абсолютная ошибка - это разница между приближенным значением и верным значением. Давайте рассмотрим каждое равенство по очереди:

1. a) \(\frac{14}{17} = 0.824\), √53 = 7.28.
В этом равенстве нет каких-либо неизвестных цифр, поэтому мы можем считать, что все цифры корректны. Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta a = 0\) и \(\Delta b = 0\).

2. a) \(\frac{7}{3} = 2.33\), √58 = 7.62.
Ни одна из этих цифр не является точной, поэтому оба приближения имеют погрешность. В этом равенстве нет ошибок округления. Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta a = 0\) и \(\Delta b = 0\).

3. a) \(\frac{27}{31} = 0.871\), √42 = 6.48.
Ни одна из этих цифр не является точной, поэтому оба приближения имеют погрешность. В этом равенстве нет ошибок округления. Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta a = 0\) и \(\Delta b = 0\).

4. a) \(\frac{23}{9} = 2.56\), √87 = 9.33.
Ни одна из этих цифр не является точной, поэтому оба приближения имеют погрешность. В этом равенстве нет ошибок округления. Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta a = 0\) и \(\Delta b = 0\).

5. a) \(\frac{6}{7} = 0.857\), √41 = 6.40.
Ни одна из этих цифр не является точной, поэтому оба приближения имеют погрешность. В этом равенстве нет ошибок округления. Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta a = 0\) и \(\Delta b = 0\).

B) Для округления неопределенных цифр числа, сохраняя правильные знаки, давайте рассмотрим каждое равенство по очереди:

1. b) \(23.3748\) с погрешностью \(δ = 0.27\%\).
Для округления этого числа в соответствии с заданным процентом погрешности, мы должны определить позицию неопределенной цифры. Поскольку погрешность указана в процентах, мы можем использовать формулу для округления с фиксированной точностью. Количество знаков после запятой равно \(2\) в оригинальном числе. Округляя с погрешностью в \(0.27\%\), неопределенная цифра будет \(7\) в результате округления. Таким образом, окончательный результат с округленной неопределенной цифрой будет \(23.3747\). Абсолютная ошибка равна разности между приближенным значением \(23.3747\) и точным значением \(23.3748\): \(\Delta = |23.3747 - 23.3748| = 0.0001\).

2. b) \(13.5726\) с погрешностью \(± 0.0072\).
Здесь указан диапазон погрешности, поэтому мы должны округлить неопределенную цифру в обе стороны от центрального значения. Так как погрешность указана в виде диапазона, мы можем использовать формулу для округления, используя нужную точность. Количество знаков после запятой равно \(4\) в оригинальном числе. Округляя неопределенную цифру в обе стороны от центрального значения, мы получим результат в виде диапазона от \(13.5725\) до \(13.5727\). Абсолютная ошибка равна разности между приближенными значениями \(13.5727\) и \(13.5726\), так как они представляют максимальную абсолютную ошибку: \(\Delta = |13.5727 - 13.5726| = 0.0001\).

3. b) \(0.088748\) с погрешностью \(δ = 0.56\%\).
В этом случае погрешность указана в процентах, поэтому мы используем формулу для округления с фиксированной точностью. Количество знаков после запятой равно \(6\) в оригинальном числе. Округляя с погрешностью в \(0.56\%\), неопределенная цифра будет \(8\) в результате округления. Таким образом, окончательный результат с округленной неопределенной цифрой будет \(0.088748\). Абсолютная ошибка равна нулю, так как значения верны: \(\Delta = 0\).

4. b) \(4.57633\) с погрешностью \(± 0.00042\).
Здесь указан диапазон погрешности, поэтому мы должны округлить неопределенную цифру в обе стороны от центрального значения. Так как погрешность указана в виде диапазона, мы можем использовать формулу для округления, используя нужную точность. Количество знаков после запятой равно \(5\) в оригинальном числе. Округляя неопределенную цифру в обе стороны от центрального значения, мы получим результат в виде диапазона от \(4.57632\) до \(4.57634\). Абсолютная ошибка равна разности между приближенными значениями \(4.57634\) и \(4.57633\), так как они представляют максимальную абсолютную ошибку: \(\Delta = |4.57634 - 4.57633| = 0.00001\).

C) Давайте найдем максимальные абсолютную и относительную ошибки для каждого приближенного числа:

1. c) \(0.645\).
В этом случае нет неопределенных цифр, и все цифры считаются точными. Максимальная абсолютная ошибка равна разности между приближенным значением \(0.645\) и точным значением \(0.645\): \(\Delta = |0.645 - 0.645| = 0\). Относительная ошибка также равна нулю, так как значения верны: \(\delta = \frac{\Delta}{0.645} = 0\).

2. c) \(4.8556\).
В этом случае нет неопределенных цифр, и все цифры считаются точными. Максимальная абсолютная ошибка равна разности между приближенным значением \(4.8556\) и точным значением \(4.8556\): \(\Delta = |4.8556 - 4.8556| = 0\). Относительная ошибка также равна нулю, так как значения верны: \(\delta = \frac{\Delta}{4.8556} = 0\).

В итоге, для каждого приближенного числа были рассмотрены точность равенств, округление неопределенных цифр и определены максимальные абсолютная и относительная ошибки.