Какова длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD, в которой основания AD и BC имеют длину 122 и диагональ

Для решения этой задачи, нам потребуется некоторое знание о свойствах трапеции и биссектрисе угла.

Свойства биссектрисы угла, равного 45°:
1. Биссектриса угла делит его на два равных угла.
2. Биссектриса угла является перпендикуляром к стороне, лежащей внутри угла, и проходит через центр окружности, вписанной в этот угол.

Опишем ход решения данной задачи:

1. Рассмотрим треугольник ADC. Угол CAD равен 45°, поскольку AC является биссектрисой угла, равного 45°.
2. Так как угол CAD равен 45°, то угол DAC также равен 45°. Следовательно, треугольник ADC является прямоугольным, поскольку угол DAC является прямым углом.
3. Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как точку O.
4. Так как треугольник ADC - прямоугольный, то диагональ AC будет служить гипотенузой этого треугольника. Мы знаем, что AD равно 122, поэтому применим теорему Пифагора: \(AC = \sqrt{AD^2 + CD^2}\).
5. Поскольку трапеция ABCD является прямоугольной, то CD также будет равно 122. Таким образом, можем записать \(AC = \sqrt{122^2 + 122^2}\).
6. Выполнив несложные вычисления, получим \(AC = \sqrt{2 \cdot 122^2}\).
7. Упростим выражение: \(AC = 122\sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти длину диагонали BD, воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции:

8. Опишем еще один треугольник, треугольник BDC. Этот треугольник также будет прямоугольным, так как угол ADC - прямой, а сторона BC, как основание трапеции, перпендикулярна к основанию AD.
9. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: ADC и BDC. Их гипотенузы являются диагоналями трапеции.
10. Если диагонали прямоугольных треугольников равны, то треугольники сами по себе будут подобными (имеют одинаковые формы, но разные размеры).
11. Заметим, что сторона BC треугольника BDC является гипотенузой треугольника ADC. Таким образом, треугольники ADC и BDC подобны.
12. Воспользуемся этим свойством для нахождения диагонали BD. Отношение длин диагоналей равно отношению длин соответствующих сторон прямоугольных треугольников. Так как треугольники ADC и BDC подобны, то отношение длин сторон AD к CD равно отношению длин диагоналей AC к BD: \(\frac{AD}{CD} = \frac{AC}{BD}\).
13. Подставим значения: \(\frac{122}{122} = \frac{122\sqrt{2}}{BD}\).
14. Упростим уравнение: \(1 = \frac{122\sqrt{2}}{BD}\).
15. Теперь можем решить это уравнение относительно BD. Умножим обе стороны уравнения на BD и разделим на \(\sqrt{2}\): \(BD = \frac{122\sqrt{2}}{1} = 122\sqrt{2}\).

Таким образом, длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD равна \(122\sqrt{2}\) или приближенно 172.57 единицам длины.