9th grade algebra. Arithmetic progression. 1. Find the 15th term (an) of the arithmetic progression, given that a1

Давайте решим поставленные задачи поочередно.

1. Для нахождения 15-го члена арифметической прогрессии (an) с заданными начальным членом a1 = 14 и разностью d = -7, мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Для данной задачи, у нас есть \(a_1 = 14\) и \(d = -7\), и нам нужно найти \(a_{15}\). Подставим значения в формулу:
\[a_{15} = 14 + (15-1) \cdot (-7)\]

Решим это выражение:
\[a_{15} = 14 + 14 \cdot (-7)\]
\[a_{15} = 14 - 98\]
\[a_{15} = -84\]

Таким образом, 15-й член арифметической прогрессии равен -84.

2. Чтобы найти сумму первых 6 членов арифметической прогрессии -9, -6, -3, ..., мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\), где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче, нам дана прогрессия с первым членом \(a_1 = -9\), разностью \(d = 3\) (можно заметить, что разность равна разнице между любыми двумя последовательными членами прогрессии), и нам нужно найти \(S_6\). Подставим значения в формулу:
\[S_6 = \frac{6}{2} \cdot (-9 + a_6)\]
Так как разница между любыми двумя последовательными членами прогрессии равна 3, то мы можем найти \(a_6\) используя \(a_1\) и \(d\):
\[a_6 = a_1 + 5d\]
\[a_6 = -9 + 5 \cdot 3\]
\[a_6 = 6\]

Теперь, вернемся к формуле для суммы и решим выражение:
\[S_6 = \frac{6}{2} \cdot (-9 + 6)\]
\[S_6 = \frac{6}{2} \cdot (-3)\]
\[S_6 = 3 \cdot (-3)\]
\[S_6 = -9\]

Таким образом, сумма первых 6 членов данной арифметической прогрессии равна -9.

3. Для нахождения суммы первых 30 членов последовательности (an), определенной формулой \(a_n = 5n - 8\), мы можем использовать формулу для суммы первых n членов последовательности: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\), где \(S_n\) - сумма первых n членов последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(a_n\) - n-ый член последовательности, \(n\) - количество членов последовательности.

В данной задаче, у нас дана формула \(a_n = 5n - 8\), и нам нужно найти \(S_{30}\). Подставим значения в формулу:
\[S_{30} = \frac{30}{2}(a_1 + a_{30})\]
Для нахождения \(a_{30}\), мы можем подставить \(n = 30\) в формулу для \(a_n\):
\[a_{30} = 5 \cdot 30 - 8\]
\[a_{30} = 150 - 8\]
\[a_{30} = 142\]

Теперь, вернемся к формуле для суммы и решим выражение:
\[S_{30} = \frac{30}{2}(a_1 + 142)\]
\[S_{30} = 15 \cdot (a_1 + 142)\]

Так как нам не дано значение \(a_1\), мы не можем найти точную сумму первых 30 членов последовательности. Но мы можем выразить сумму в общем виде, используя формулу:
\[S_{30} = 15a_1 + 15 \cdot 142\]

4. Чтобы определить, является ли число 56 членом арифметической прогрессии (an) с заданным начальным членом \(a_1 = 7\) и \(a_6 = 17\), мы можем проверить, выполняется ли формула общего члена арифметической прогрессии для данного числа.

Используя формулу \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\), где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, мы можем проверить, выполняется ли данная формула для \(n\) с таким, что \(a_n = 56\).

Подставим известные значения в формулу:
\[56 = 7 + (n-1) \cdot d\]

Мы также знаем, что \(a_6 = 17\), поэтому мы можем использовать эту информацию, чтобы найти \(d\):
\[a_6 = a_1 + 5d\]
\[17 = 7 + 5d\]
\[5d = 10\]
\[d = 2\]

Решим задачу, подставив полученное значение \(d\) в уравнение:
\[56 = 7 + (n-1) \cdot 2\]
\[56 = 7 + 2n - 2\]
\[2n = 51\]
\[n = 25.5\]

Таким образом, 56 не является целым числом и, следовательно, не является членом данной арифметической прогрессии.

5. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не превышают некоторого предела, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии с шагом 4.

Формула для суммы арифметической прогрессии данного типа имеет вид: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\), где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данной задаче, нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не превышают некоторого предела, который нам не задан. Давайте обозначим этот предел как \(N\). Тогда, \(a_1\) будет равен 4, так как первое кратное 4 - это само число 4. Член последовательности \(a_n\) будет наибольшим натуральным числом, которое кратно 4 и не превышает \(N\). Заметим, что \(a_1\) само является кратным 4, поэтому \(a_n\) будет наибольшим кратным 4, которое меньше или равно \(N\). Таким образом, мы можем записать \(a_n\) в виде \(a_n = 4 \cdot k\), где \(k\) - наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет условию.

Теперь, возвращаемся к формуле для суммы арифметической прогрессии и подставляем значения:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
\[S_n = \frac{n}{2}(4 + 4k)\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, которые кратны 4 и не превышают предел \(N\), будет равна \(\frac{n}{2}(4 + 4k)\). Однако, мы не можем найти точное значение суммы без заданного значения для \(N\). Мы можем оставить ответ в общем виде и записать его как \(S_n = 2n(k + 1)\).