89. Какие пары векторов коллинеарны? Какие из них имеют одно направление, а какие - противоположное?

Чтобы определить, какие пары векторов коллинеарны и имеют одно направление, а какие - противоположное, нужно сначала разобраться в определении коллинеарности векторов.

Два вектора называются коллинеарными, если они направлены вдоль одной и той же прямой или противоположных прямых (равны по направлению или противоположными по направлению).

У нас есть пары векторов, и нам нужно проверить каждую из них на коллинеарность.

Допустим, у нас есть две пары векторов:

1) \(\vec{v_1} = (3, 6)\) и \(\vec{v_2} = (6, 12)\)
2) \(\vec{v_3} = (-2, -4)\) и \(\vec{v_4} = (2, 4)\)

Чтобы проверить, являются ли эти векторы коллинеарными, мы можем воспользоваться следующим критерием: векторы коллинеарны, если один вектор можно получить, умножив другой на некоторое число.

Проверим первую пару векторов: \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\)

Мы можем умножить вектор \(\vec{v_1}\) на 2 и получить вектор \(\vec{v_2}\), то есть:

\(\vec{v_1} * 2 = (3, 6) * 2 = (6, 12) = \vec{v_2}\)

Поэтому векторы \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) коллинеарны.

Теперь проверим вторую пару векторов: \(\vec{v_3}\) и \(\vec{v_4}\)

Если мы умножим вектор \(\vec{v_3}\) на -1, то получим вектор \(\vec{v_4}\):

\(\vec{v_3} * -1 = (-2, -4) * -1 = (2, 4) = \vec{v_4}\)

Таким образом, векторы \(\vec{v_3}\) и \(\vec{v_4}\) также коллинеарны.

Теперь определим, имеют ли эти векторы одно направление или противоположное.

Для этого сравним знаки компонент векторов.

В первой паре векторов обе компоненты положительны, поэтому они имеют одно направление.

Во второй паре векторов обе компоненты отрицательны, поэтому они также имеют одно направление.

Итак, обе пары векторов коллинеарны и имеют одно направление.