№8. Подтвердите, что производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции – четной. Б) Можно

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим задачу номер 8.

Чтобы подтвердить, что производная четной функции является нечетной, а производная нечетной функции – четной, нам необходимо вспомнить определение четной и нечетной функции.

Функция \(f(x)\) называется четной, если для любого \(x\) выполняется \(f(-x) = f(x)\).

Функция \(g(x)\) называется нечетной, если для любого \(x\) выполняется \(g(-x) = -g(x)\).

А теперь давайте рассмотрим производную четной функции и проверим, является ли она нечетной. Пусть у нас есть четная функция \(f(x)\), и ее производная обозначается как \(f"(x)\).

Так как \(f(x)\) является четной, то \(f(-x) = f(x)\). Рассмотрим теперь производную функции \(f(x)\) в точке \(-x\). По определению производной это будет предел отношения изменения значения функции к изменению аргумента при стремлении разности аргументов к нулю:

\[f"(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-x+h) - f(-x)}{h}\]

Заметим, что \(f(-x+h) = f(-x-h)\), так как \(f(x)\) является четной, поэтому можно записать:

\[f"(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-x-h) - f(-x)}{h}\]

Теперь заменим \(-x\) на \(x\) (обратим аргументы) и сделаем замену переменной \(h \to -h\):

\[f"(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x-h) - f(x)}{-h}\]

Из этого выражения видно, что \(-f"(x)\) равно пределу:

\[-f"(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x-h) - f(x)}{h}\]

А это как раз определение нечетной функции. Значит, производная четной функции является нечетной.

Аналогично, для производной нечетной функции \(g(x)\), мы можем показать, что она будет четной.

Итак, ответ на первую часть вопроса: подтверждается, что производная четной функции является нечетной, и производная нечетной функции является четной.

А теперь давайте перейдем ко второй части задания.

1) Утверждение 1 говорит о том, что если производная функции \(f"(x)\) является четной функцией, то сама функция \(f(x)\) будет нечетной.

Давайте проверим это утверждение. Если производная \(f"(x)\) является четной функцией, то, согласно доказанному ранее, сама функция \(f(x)\) будет нечетной.

2) Утверждение 2 говорит о том, что если производная функции \(f"(x)\) является нечетной функцией, то сама функция \(f(x)\) будет четной.

Давайте проверим это утверждение. Если производная \(f"(x)\) является нечетной функцией, то, согласно доказанному ранее, сама функция \(f(x)\) будет четной.

Таким образом, ответ на вторую часть задания: 1) если производная \(f"(x)\) является четной функцией, то функция \(f(x)\) будет нечетной; 2) если производная \(f"(x)\) является нечетной функцией, то функция \(f(x)\) будет четной.

Перейдем теперь к задаче номер 9.

В данной задаче требуется завершить график функции, изображенный на рисунке 4, таким образом, чтобы он был определен на всем множестве вещественных чисел \(R\) и являлся:

1) четной функцией;
2) нечетной функцией.

Для того чтобы завершить график функции таким образом, чтобы он был четной или нечетной функцией на всем \(R\), необходимо соблюсти следующие правила:

1) Чтобы график функции был четной функцией, он должен быть симметричным относительно оси \(y\). Это означает, что значения функции для \(x\) и \(-x\) должны быть равными. Таким образом, необходимо отражать существующий график функции относительно оси \(y\).

2) Чтобы график функции был нечетной функцией, он должен быть симметричным относительно начала координат. Это означает, что значения функции для \(x\) и \(-x\) должны быть симметричны относительно начала координат (\(f(-x) = -f(x)\)). Таким образом, необходимо отразить существующий график функции относительно начала координат.

Если график функции на рисунке 4 не удовлетворяет этим требованиям, то завершить его таким образом, чтобы он был четной или нечетной функцией на всем \(R\) невозможно.

Если же текущий график функции удовлетворяет этим требованиям, то можно завершить его таким образом, чтобы он был четной или нечетной функцией на всем \(R\).

Надеюсь, это поможет вам решить задачи 8 и 9! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.