7. Який діаметр більшої основи зрізаного конуса, якщо його висота і твірна становлять відповідно 3 см і 5 см? Скільки

7. Для рішення цієї задачі ми можемо скористатись теоремою Піфагора та формулою для знаходження бічної поверхні конуса.

Згідно з теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, катетами є висота (3 см) і радіус малої основи (половина діаметра), а гіпотенуза - твірна (5 см). Таким чином, ми можемо записати наступне рівняння:

\(3^2 + r^2 = 5^2\), де \(r\) - радіус малої основи зрізаного конуса.

Розв"язавши це рівняння, ми отримуємо \(r^2 = 25 - 9 = 16\), а значить \(r = 4\).

Діаметр більшої основи зрізаного конуса дорівнює двом радіусам малої основи, тобто \(2 \cdot r = 2 \cdot 4 = 8\) см.

Тепер перейдемо до обчислення бічної поверхні зрізаного конуса. Формула для цього випадку має вигляд: \(L = \pi (r_1 + r_2) l\), де \(r_1\) та \(r_2\) - радіуси основ конуса (в нашому випадку ми маємо тільки одну основу, тому \(r_1 = r_2 = r\)), а \(l\) - образована кільцевим смугом пряма лінія (твірна).

У нашому завданні \(r = 4\) см і \(l = 5\) см, тому можемо підставити відповідні значення до формули: \(L = \pi (4 + 4) \cdot 5 = 8\pi \cdot 5 = 40\pi\) (сантиметри квадратні).

Отже, діаметр більшої основи зрізаного конуса становить 8 см, а бічна поверхня має площу 40π (см²).

8. Для вирішення цієї задачі нам необхідно використати теорему про вписаний кут у центральному стороні. За цією теоремою, кут між центральною стороною квадрата і хордою (відстанню 2,5 см від центра сфери) дорівнює удвічі величині кута, утвореного дотичною лінією, проведеною з точки дотику до центра сфери і радіусом її.

Оскільки цей кут складає величину \(90^\circ\), то внутрішній кут між хордою і протилежною стороною квадрата також дорівнює \(90^\circ\). Отже, ми отримуємо прямокутний трикутник зі стороною 2,5 см, катетами якого є відстань від центра сфери до площини квадрата і половина довжини сторони квадрата.

Застосовуючи теорему Піфагора, отримуємо:

\((\frac{s}{2})^2 + 2,5^2 = 6,5^2\), де \(s\) - довжина сторони квадрата.

Розв"язавши це рівняння, маємо:

\((\frac{s}{2})^2 = 6,5^2 - 2,5^2 = 42,25 - 6,25 = 36\), а значить \(\frac{s}{2} = 6\).

Подвоєний катет рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює діагоналі квадрата, тому знаходячи подвійний катет 6 см, ми отримуємо довжину діагоналі квадрата, але ми шукаємо довжину однієї сторони. Щоб знайти це значення, потрібно поділити подвійний катет на \(\sqrt{2}\) (квадратний корінь з двох):

\(s = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) (см).

Отже, довжина сторони квадрата складає \(3\sqrt{2}\) см.

9. Для рішення цієї задачі нам знадобиться формула для об"єму тіла обертання - формула обертання рами навколо паралельної осі.

Об"єм тіла обертання можна знайти за формулою \(V = \pi \int_a^b f^2(x) dx\), де \(f(x)\) - функція, що задає профіль тіла обертання, а \(a\) і \(b\) - межі інтегрування.

У нашому випадку, рівносторонній трикутник обертається навколо осі, яка проходить через вершину трикутника паралельно протилежній стороні. Функція, що задає профіль тіла обертання, буде дорівнювати відстані від осі обертання до відповідного елементу довжини трикутника.

Оскільки трикутник рівносторонній і його сторона дорівнює 6 см, то максимальна відстань від осі обертання до елементу довжини трикутника дорівнює половині сторони - 3 см.

Таким чином, ми можемо використати формулу для об"єму тіла обертання, підставивши значення: \(V = \pi \int_0^6 3^2 dx\) (за обмеженнями інтегралу від 0 до 6, ми обчислюємо об"єм всього тіла обертання).

Обчисливши цей інтеграл, отримуємо:

\(V = \pi \int_0^6 9 dx = \pi \cdot 9 \cdot (6 - 0) = 54\pi\) (см³).

Отже, площа тіла обертання становить \(54\pi\) (см³).