6. В двух сосудах имеется различное количество воды (рисунок 126). В каком из сосудов давление воды на дно больше

Чтобы решить эту задачу, нам нужно учесть основные принципы и связь давления с высотой столба жидкости. Давление на дно жидкости определяется формулой:

\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]

где \( P \) - давление, \( \rho \) - плотность жидкости, \( g \) - ускорение свободного падения, \( h \) - высота столба жидкости.

Первым делом рассмотрим давление в сосуде с высотой \( h_1 = 48 \) см. Плотность воды остается постоянной и равна \( \rho = 1000 \) кг/м\(^3\), а ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с\(^2\).

\[ P_1 = \rho \cdot g \cdot h_1 \]
\[ P_1 = 1000 \cdot 9.8 \cdot 0.48 \]
\[ P_1 = 4704 \] Па

Теперь рассмотрим давление в сосуде с высотой \( h_2 = 14 \) см. Мы знаем, что диаметры сосудов отличаются в 4 раза. Обозначим диаметр первого сосуда как \( D_1 \), а диаметр второго сосуда как \( D_2 \). Тогда, учитывая пропорцию диаметров и площадей оснований, получим следующее соотношение:

\[ \frac{{D_2}}{{D_1}} = \frac{{h_2}}{{h_1}} \]
\[ \frac{{D_2}}{{D_1}} = \frac{{14}}{{48}} \]

Так как диаметры сосудов различаются в 4 раза, выразим значение диаметра второго сосуда через диаметр первого:

\[ D_2 = 4 \cdot D_1 \]

Используя формулу для площади круга, выразим площади оснований через диаметры:

\[ S_1 = \frac{{\pi \cdot D_1^2}}{4} \]
\[ S_2 = \frac{{\pi \cdot D_2^2}}{4} = \frac{{\pi \cdot (4 \cdot D_1)^2}}{4} = \frac{{\pi \cdot 16 \cdot D_1^2}}{4} = 4 \cdot S_1 \]

Таким образом, площадь основания второго сосуда в 4 раза больше, чем площадь основания первого сосуда.

Теперь рассмотрим уровень воды после открытия крана. Поскольку оба сосуда соединены через открытый кран, уровень воды в обоих сосудах будет одинаковым. Пусть \( h_{\text{общ}} \) - это уровень воды после открытия крана. Тогда объем воды в первом и во втором сосуде можно выразить через площади оснований и уровень воды:

\[ V_1 = S_1 \cdot h_{\text{общ}} \]
\[ V_2 = S_2 \cdot h_{\text{общ}} = 4 \cdot S_1 \cdot h_{\text{общ}} = 4 \cdot V_1 \]

Мы знаем, что объемы воды в обоих сосудах равны между собой:

\[ V_1 = V_2 \]
\[ S_1 \cdot h_{\text{общ}} = 4 \cdot S_1 \cdot h_{\text{общ}} \]
\[ h_{\text{общ}} = \frac{1}{4} \cdot h_{\text{общ}} \]

Таким образом, уровень воды после открытия крана будет равен \(\frac{1}{4}\) от высоты столба жидкости \(h_1\):

\[ h_{\text{общ}} = \frac{1}{4} \cdot h_1 = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 \] см

Также, уровень воды в первом сосуде останется неизменным, поскольку он не связан с уровнем воды во втором сосуде. Поэтому, уровень воды в первом сосуде равен \(h_1 = 48\) см, а уровень воды во втором сосуде равен \(h_{\text{общ}} = 12\) см.

Таким образом, давление воды на дно второго сосуда меньше четырех раз по сравнению с давлением воды на дно первого сосуда. Отсюда следует, что давление воды на дно первого сосуда больше. Разница в давлении между сосудами равна разности давлений на днище первого и второго сосудов:

\[ \Delta P = P_1 - P_2 = 4704 - 1176 = 3528 \] Па

Таким образом, давление воды на дно первого сосуда больше на 3528 Па. Уровень воды в первом сосуде равен 48 см, а уровень воды во втором сосуде равен 12 см.