У скільки разів збільшиться швидкість руху супутника по орбіті, якщо радіус його колової орбіти збільшити в 4 рази

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть два фактора изменения: увеличение радиуса орбиты и увеличение периода оборота.

1. Увеличение радиуса орбиты:
Если радиус орбиты увеличивается в 4 раза, то это означает, что новый радиус будет в 4 раза больше исходного, то есть \( r_{\text{новый}} = 4 \cdot r_{\text{исходный}} \).

2. Увеличение периода оборота:
Если период оборота увеличивается в 8 раз, то это означает, что новый период будет в 8 раз больше исходного, то есть \( T_{\text{новый}} = 8 \cdot T_{\text{исходный}} \).

Теперь, чтобы найти отношение изменения скорости супутника, мы можем использовать законы сохранения механической энергии для кругового движения. Кинетическая энергия супутника связана с его скоростью следующим образом: \( K = \frac{1}{2} m v^2 \), где \( m \) - масса супутника, а \( v \) - его скорость.

Так как масса супутника остается постоянной, мы можем сравнить две формулы кинетической энергии для исходной и новой орбиты:

Для исходной орбиты: \( K_{\text{исходный}} = \frac{1}{2} m v_{\text{исходный}}^2 \)
Для новой орбиты: \( K_{\text{новый}} = \frac{1}{2} m v_{\text{новый}}^2 \)

Поскольку кинетическая энергия супутника остается постоянной, мы можем установить следующее соотношение:

\( K_{\text{исходный}} = K_{\text{новый}} \)

Подставим значения кинетической энергии и скоростей:

\( \frac{1}{2} m v_{\text{исходный}}^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{новый}}^2 \)

Теперь у нас есть следующее соотношение:

\( v_{\text{исходный}}^2 = v_{\text{новый}}^2 \)

Воспользовавшись этим соотношением, можно получить отношение между \( v_{\text{исходный}} \) и \( v_{\text{новый}} \):

\( \frac{v_{\text{новый}}}{v_{\text{исходный}}} = \sqrt{\frac{v_{\text{новый}}^2}{v_{\text{исходный}}^2}} \)

Теперь давайте выразим скорости через радиусы и периоды. Скорость супутника на орбите связана с радиусом и периодом следующим образом:

\( v = \frac{2 \pi r}{T} \)

Подставим значения для исходной и новой орбиты в эту формулу:

\( v_{\text{исходный}} = \frac{2 \pi r_{\text{исходный}}}{T_{\text{исходный}}} \)
\( v_{\text{новый}} = \frac{2 \pi r_{\text{новый}}}{T_{\text{новый}}} \)

Теперь, подставим найденные ранее значения \( r_{\text{новый}} = 4 \cdot r_{\text{исходный}} \) и \( T_{\text{новый}} = 8 \cdot T_{\text{исходный}} \) в формулы для скоростей:

\( v_{\text{исходный}} = \frac{2 \pi r_{\text{исходный}}}{T_{\text{исходный}}} = \frac{2 \pi r_{\text{исходный}}}{T_{\text{исходный}}} \)
\( v_{\text{новый}} = \frac{2 \pi r_{\text{новый}}}{T_{\text{новый}}} = \frac{2 \pi (4 \cdot r_{\text{исходный}})}{(8 \cdot T_{\text{исходный}})} = \frac{2 \pi r_{\text{исходный}}}{T_{\text{исходный}}} \)

Заметим, что \( v_{\text{исходный}} \) и \( v_{\text{новый}} \) равны! Следовательно, скорость супутника не изменяется при изменении радиуса орбиты и периода оборота.

Таким образом, скорость супутника не увеличивается и не уменьшается при изменении радиуса орбиты и периода оборота. Отношение скоростей будет равно 1, то есть \( \frac{v_{\text{новый}}}{v_{\text{исходный}}} = 1 \).

Ответ: скорость супутника не изменится, она останется такой же.