Покажіть, що коефіцієнт тертя μ можна виразити за формулою μ = (m2g - (m1+m2)a) / m1g, використовуючи рівняння другого

Щоб показати, що коефіцієнт тертя \(\mu\) можна виразити за формулою \(\mu = \frac{{m_2g - (m_1+m_2)a}}{{m_1g}}\), ми використаємо два рівняння другого закону Ньютона для двох тіл і рівняння для сили тертя.

Почнемо з першого тіла, на яке діє сила \(T_1\) у напрямку руху. Застосуємо другий закон Ньютона до цього тіла:

\[T_1 - F_{\text{тертя}} = m_1a\]

Позначимо силу тяжіння на перше тіло як \(F_{\text{тяж}} = m_1g\). З цього рівняння ми можемо виразити силу тертя:

\[F_{\text{тертя}} = T_1 - m_1a\]

Тепер приступимо до другого тіла, на яке діє сила \(T_2\) у напрямку руху, а також сила тяжіння. Застосуємо другий закон Ньютона до цього тіла:

\[T_2 - F_{\text{тяж}} - F_{\text{тертя}} = m_2a\]

Підставимо в це рівняння вираз для сили тертя з першого тіла:

\[T_2 - F_{\text{тяж}} - (T_1 - m_1a) = m_2a\]

Розкриємо дужки:

\[T_2 - F_{\text{тяж}} - T_1 + m_1a = m_2a\]

Помістимо всі члени, що містять \(a\), на одну сторону рівняння, а всі інші на іншу:

\[T_2 - T_1 = m_2a - m_1a + F_{\text{тяж}}\]

Скоротимо \(a\) з обох сторін:

\[T_2 - T_1 = (m_2 - m_1)a + F_{\text{тяж}}\]

Тепер помістимо силу тяжіння \(F_{\text{тяж}} = m_1g\) знову в рівняння:

\[T_2 - T_1 = (m_2 - m_1)a + m_1g\]

Додамо \(m_1\) і \(m_2\) до кожного члена зліва, щоб виділити кожну масу окремо:

\[T_2 - T_1 + m_1 = m_2a + m_1a + m_1g\]

Скоротимо \(a\) зліва:

\[T_2 - T_1 + m_1 = (m_2 + m_1)a + m_1g\]

Залишимо \(a\) по одну сторону рівняння:

\[T_2 - T_1 - m_1 = (m_2 + m_1)a + m_1g\]

Поділимо обидві сторони на \(m_2 + m_1\):

\[\frac{{T_2 - T_1 - m_1}}{{m_2 + m_1}} = a + \frac{{m_1g}}{{m_2 + m_1}}\]

Тепер ми маємо значення прискорення \(a\) виражене через сили тяжіння і сили \(T_1\) і \(T_2\). Щоб виразити коефіцієнт тертя \(\mu\), ми використаємо рівняння для сили тертя:

\[F_{\text{тертя}} = T_1 - m_1a\]

Підставимо в нього вираз для \(a\):

\[F_{\text{тертя}} = T_1 - m_1\left(\frac{{T_2 - T_1 - m_1}}{{m_2 + m_1}} - \frac{{m_1g}}{{m_2 + m_1}}\right)\]

Розкриємо дужки:

\[F_{\text{тертя}} = T_1 - \frac{{m_1(T_2 - T_1 - m_1)}}{{m_2 + m_1}} + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Знайдемо спільний знаменник для перших двох доданків:

\[\frac{{T_1(m_2 + m_1)}}{{m_2 + m_1}} - \frac{{m_1(T_2 - T_1 - m_1)}}{{m_2 + m_1}} + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Скоротимо \(m_2 + m_1\) у кожному доданку:

\[T_1 - m_1(T_2 - T_1 - m_1) + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Розкриємо дужки в двох перших доданках:

\[T_1 - m_1T_2 + m_1^2 + m_1^2 - m_1^3 + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Згрупуємо повторювані члени:

\[T_1 - m_1T_2 + 2m_1^2 - m_1^3 + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Тепер помістимо \(m_1^2\) за дужками, щоб виділити \(m_1\) як окремий член:

\[T_1 - m_1T_2 + (2m_1 - m_1^2) + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Залишимо \(m_1\) окремо:

\[T_1 - m_1T_2 + m_1(2 - m_1) + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Тепер згрупуємо \(m_1\) з \(2 - m_1\):

\[T_1 - m_1T_2 + m_1(2 - m_1) + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Залишимо \(m_1\) окремо у двох доданках:

\[T_1 - m_1T_2 + 2m_1 - m_1^2 + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Та можемо перейменувати \(2 - m_1\) до \(m_2\) у двох останніх доданках (оскільки \(m_1 + m_2 = m_2 + m_1\)):

\[T_1 - m_1T_2 + m_2m_1 - m_1^2 + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}\]

Отримали наш вираз для сили тертя \(F_{\text{тертя}}\) у залежності від вихідних сил \(T_1\) та \(T_2\), мас \(m_1\) і \(m_2\), і прискорення вільного падіння \(g\). Щоб отримати коефіцієнт тертя \(\mu\), поділимо це вираз на силу тяжіння \(F_{\text{тяж}} = m_1g\):

\[\frac{{T_1 - m_1T_2 + m_2m_1 - m_1^2 + \frac{{m_1^2g}}{{m_2 + m_1}}}}{{m_1g}}\]

Скоротимо \(g\) з двох останніх доданків:

\[\frac{{T_1 - m_1T_2 + m_2m_1 - m_1^2 + m_1}}{{m_1g}}\]

Скоротимо \(m_1\) з першого, третього і останнього доданків:

\[\frac{{T_1 - T_2 + m_2 - m_1 + 1}}{{g}}\]

Змінимо порядок доданків:

\[\frac{{1 - m_1 + m_2 + T_1 - T_2}}{{g}}\]

Узагальнюючи, ми отримали наступне виразу для коефіцієнта тертя \(\mu\):

\[\mu = \frac{{T_1 - T_2 + m_2 - m_1 + 1}}{{g}}\]