5.14. Rewrite the inequality using the definition of inequality: 1) Prove that (6y — 1)(y + 2) is less than (3y + 4)(2y

Давайте начнем с первой задачи.

1) Доказательство неравенства \((6y - 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1)\):

Шаг 1: Раскроем скобки в обоих частях неравенства:

\((6y - 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1)\)

\(6y^2 + 12y - y - 2 < 6y^2 + 3y + 8y + 4\)

Аккуратно идем дальше.

Шаг 2: Сократим подобные члены:

\(6y^2 + 11y - 2 < 6y^2 + 11y + 4\)

Шаг 3: Вычтем \(6y^2\) и \(- 11y\) из обеих частей неравенства:

\(- 2 < 4\)

Это верное утверждение, следовательно, исходное неравенство верно для любого значения переменной \(y\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Доказательство неравенства \((3x - 1)(2x + 1) > (2x - 1)(2 + 3x)\):

Шаг 1: Раскроем скобки в обоих частях неравенства:

\((3x - 1)(2x + 1) > (2x - 1)(2 + 3x)\)

\(6x^2 + 3x - 2x - 1 > 4x - 2 + 6x - 3x^2\)

Продолжаем дальше.

Шаг 2: Сократим подобные члены:

\(6x^2 + x - 1 > - 3x^2 + 10x - 2\)

Шаг 3: Перенесем все члены влево, чтобы получить квадратное уравнение:

\(9x^2 - 9x + 1 > 0\)

Это квадратное уравнение может быть решено с помощью различных методов, но здесь мы можем определить, что оно всегда положительно для любого значения переменной \(x\). Следовательно, исходное неравенство также верно для любого значения \(x\).

Перейдем к третьей задаче.

3) Доказательство неравенства \(x^2 + 4y^2 + 3z^2 > 2x + 12y + 6z - 14\):

Шаг 1: Перенесем все члены влево, чтобы получить квадратичный трехчлен:

\(x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 2x - 12y - 6z + 14 > 0\)

Шаг 2: Поскольку это неравенство не может быть упрощено дальше, мы можем определить его тип с помощью анализа коэффициентов при переменных. Наши коэффициенты для квадратичного трехчлена положительны, следовательно, этот трехчлен будет всегда положительным. Учитывая, что коэффициенты для переменных \(x, y, z\) в правой части неравенства могут быть любыми, мы можем заключить, что исходное неравенство также верно для любого значения переменных \(x, y, z\).

И наконец, перейдем к четвертой задаче.

4) Доказательство неравенства \(a^2 + b^2 + 2 > 0\):

Раз данное неравенство не содержит величин, относящихся к переменным, мы можем утверждать, что оно верно для любых значений \(a\) и \(b\) (так как квадраты величин всегда неотрицательны, а сумма двух неотрицательных чисел также будет неотрицательной).

Все доказательства завершены. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать.