41. Визначте сьомий елемент геометричної прогресії, якщо а) b3 = 3, b4 = 6; б) b3 = -1,5, b5 = -6; в) b5 = 80, b6=-160

Решение:

а) Для решения данной задачи, используем формулу для нахождения n-ного элемента геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Из условия задачи у нас известно, что \(b_3 = 3\) и \(b_4 = 6\), тогда можем составить уравнения:

\[b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 3\]
\[b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = 6\]

Теперь найдем отношение членов прогрессии:

\[\frac{b_4}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q^2} = q = \frac{6}{3} = 2\]

Теперь можем найти первый элемент геометрической прогрессии:

\[b_1 = \frac{b_3}{q^{3-1}} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4} = 0,75\]

И, наконец, найдем седьмой элемент геометрической прогрессии:

\[b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 0,75 \cdot 2^6 = 0,75 \cdot 64 = 48\]


б) По аналогии с пунктом а), имеем:

\[q = \frac{b_5}{b_3} = \frac{-6}{-1,5} = 4\]

И первый элемент геометрической прогрессии:

\[b_1 = \frac{b_3}{q^{3-1}} = \frac{-1,5}{4^2} = \frac{-1,5}{16} = -0,09375\]

Седьмой элемент геометрической прогрессии:

\[b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -0,09375 \cdot 4^6 = -0,09375 \cdot 4096 = -384\]


в) С учетом данных задачи:

\[q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{-160}{80} = -2\]

Первый элемент геометрической прогрессии:

\[b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{80}{(-2)^4} = \frac{80}{16} = 5\]

Седьмой элемент геометрической прогрессии:

\[b_7 = b_1 \cdot (-2)^{7-1} = 5 \cdot (-2)^6 = 5 \cdot 64 = 320\]


г) Для пункта г) решение:

\[q = \frac{b_6}{b_5} = \frac{18}{b_5}\] (известно b6 = 18)

\[18 = b_5 \cdot q\]

В данном случае не можем найти более точное значение без знания значения b5.

Таким образом, мы нашли седьмой элемент геометрической прогрессии для каждого из четырех вариантов задачи.