41.7. Представьте формулу функции f(x), чья производная равна: 1) 4x^3 + 6x^2 – 2√3; 2) 1/2x^3 – 3x^2 – √3x; 3) 5x^3

Конечно, давайте рассмотрим каждый вариант по очереди:

1) Дано уравнение производной функции \(f"(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}\). Чтобы найти исходную функцию \(f(x)\), мы должны проинтегрировать это уравнение, так как производная является операцией, обратной интегрированию.

Интегрируем уравнение по отдельным членам:
\[\int f"(x) \, dx = \int (4x^3 + 6x^2 - 2\sqrt{3}) \, dx\]

Для каждого члена производной мы можем использовать соответствующее правило интегрирования:
\[\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\]
где \(C\) - произвольная постоянная.

Применяя это правило для каждого члена, мы получим:
\[\int f"(x) \, dx = \frac{{4x^4}}{4} + \frac{{6x^3}}{3} - 2\sqrt{3}x + C\]

Сокращая выражение и выбирая новую постоянную \(C_1\), получим:
\[f(x) = x^4 + 2x^3 - 2\sqrt{3}x + C_1\]

2) В данном случае производная функции задана уравнением \(f"(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x\). Проинтегрируем это уравнение:
\[\int f"(x) \, dx = \int \left(\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 - \sqrt{3}x\right) \, dx\]

Снова применим правило интегрирования для каждого члена:
\[\int f"(x) \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{x^2}{2} + C\]

Упростим это выражение и выберем новую постоянную \(C_2\):
\[f(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + C_2\]

3) Здесь производная функции дана уравнением \(f"(x) = 5x^3 - 0.6x^2 + \sqrt{7}x - 4\). Проинтегрируем это уравнение:
\[\int f"(x) \, dx = \int \left(5x^3 - 0.6x^2 + \sqrt{7}x - 4\right) \, dx\]

Применяя правило интегрирования для каждого члена, получим:
\[\int f"(x) \, dx = \frac{5x^4}{4} - 0.6 \cdot \frac{x^3}{3} + \sqrt{7} \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C\]

Упростим это выражение и выберем новую постоянную \(C_3\):
\[f(x) = \frac{5x^4}{4} - 0.2x^3 + \frac{\sqrt{7}}{2}x^2 - 4x + C_3\]

4) В данном случае производная функции задана уравнением \(f"(x) = -\frac{5}{x^3} + x^4 - 7\). Проинтегрируем это уравнение:
\[\int f"(x) \, dx = \int \left(-\frac{5}{x^3} + x^4 - 7\right) \, dx\]

Применяя правило интегрирования для каждого члена, получим:
\[\int f"(x) \, dx = 5 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C\]

Упростим это выражение и выберем новую постоянную \(C_4\):
\[f(x) = \frac{5}{x^2} + \frac{x^5}{5} - 7x + C_4\]

5) Здесь производная функции дана уравнением \(f"(x) = -\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1\). Проинтегрируем это уравнение:
\[\int f"(x) \, dx = \int \left(-\frac{5}{x^4} + 3x^4 - 7x + 1\right) \, dx\]

Применяя правило интегрирования для каждого члена, получим:
\[\int f"(x) \, dx = 5 \cdot \frac{1}{3x^3} + \frac{3x^5}{5} - \frac{7x^2}{2} + x + C\]

Упростим это выражение и выберем новую постоянную \(C_5\):
\[f(x) = \frac{5}{3x^3} + \frac{3x^5}{5} - \frac{7x^2}{2} + x + C_5\]

6) Наконец, производная функции равна \(f"(x) = \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6\). Проинтегрируем это уравнение:
\[\int f"(x) \, dx = \int \left(\frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{5}{x^3} - x^6\right) \, dx\]

Применяя правило интегрирования для каждого члена, получим:
\[\int f"(x) \, dx = \frac{\sqrt{5}}{3}x + 5 \cdot \frac{1}{2x^2} - \frac{x^7}{7} + C\]

Упростим это выражение и выберем новую постоянную \(C_6\):
\[f(x) = \frac{\sqrt{5}}{3}x + \frac{5}{2x^2} - \frac{x^7}{7} + C_6\]

Таким образом, мы нашли формулу функции \(f(x)\) для каждого заданного варианта производной. Каждая решение содержит произвольную постоянную \(C\), поэтому они могут отличаться на константу.